Программа курса "Математический анализ".

I. Введение в анализ.

1. Определение функции. Область определения функции. Способы ее задания.

2. Основные элементарные функции и их графики.

3. Предел функции. Основные свойства пределов.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. Сравнение бесконечно малых.

5. Первый и второй замечательные пределы.

6. Способы вычисления пределов. Раскрытие неопределенностей.

7. Непрерывность функции в точке и на интервале.

8. Точки разрыва функции и их классификация.

9. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

1. Определение производной, ее геометрический и механический смысл.

2. Основные правила нахождения производной.

3. Производные основных элементарных функций.

4. Производная сложной функции. Производная обратной, неявной и параметрически заданной функции.

5. Дифференциал функции. Его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала.

6. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной.

7. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

8. Исследование функции и построение ее графика.

III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

1. Функция нескольких переменных. Область определения.

2. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал. Его геометрический смысл.

3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

4. Градиент скалярного поля. Производная по направлению.

5. Частные производные высших порядков.

6. Экстремум функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия.

7. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.

8. Метод наименьших квадратов.

IV. Неопределенный интеграл.

1. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства.

2. Таблица основных формул интегрирования.

3. Непосредственное интегрирование.

4. Интегрирование по частям и подстановкой.

5. Интегрирование рациональных функций.

6. Интегрирование иррациональных функций.

7. Интегрирование тригонометрических функций.

V. Определенный интеграл.

1. Определение определенного интеграла и его свойства.

2. Формула Ньютона-Лейбница.

3. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интервале.

4. Вычисление площадей плоских фигур.

5. Вычисление длин дуг плоских кривых.

6. Вычисление объемов тел вращения.

7. Несобственные интегралы.

8. Приближенные вычисления с помощью интегралов.

VI. Дифференциальные уравнения.

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Задача Коши.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка: однородные, линейные, Бернулли.

3. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия.

4. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

5. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами (метод вариации произвольной постоянной и метод неопределенных коэффициентов).

7. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.