- •12. Математические модели прикладных задач
- •12.1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
- •Решение типовых примеров
- •Примеры для самостоятельного решения
- •12.2. Моделирование электрических цепей
- •Решение типовых примеров
- •Примеры для самостоятельного решения
- •12.3. Истечение жидкости из резервуара
- •Примеры для самостоятельного решения
- •12.4. Распространение теплоты
- •Решение типовых примеров
- •Примеры для самостоятельного решения
- •12.5. Движение материальной точки
- •Решение типовых примеров
- •Примеры для самостоятельного решения
- •12.6. Растворение веществ
- •Решение типовых примеров
- •Примеры для самостоятельного решения
- •12.7. Математическая модель биологической популяции
- •Примеры для самостоятельного решения
- •Литература
- •Содержание
Примеры для самостоятельного решения
12.5.1. Вычислить путь, пройденный поездом, и время его движения до полной остановки, если замедляющая сила есть линейная функция скорости.
12.5.2. Найти скорость движения материальной точки массой m при свободном горизонтальном полете под действием первоначального толчка и силы сопротивления среды модуль которой в зависимости от скорости движения дается формулой где - размерные постоянные.
12.5.3. Материальная частица массой m падает в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости частицы (km – коэффициент пропорциональности). Найти закон изменения скорости от времени. Показать, что при скорость приближается к где g-ускорение свободного падения.
12.5.4. Материальной точке, находящейся на поверхности Земли (радиус Земли R), сообщена начальная вертикальная скорость (вторая космическая скорость). Определить закон движения точки (силой сопротивления воздуха пренебречь).
12.5.5. Пуля, двигаясь со скоростью пробивает стену толщиной h=20 см и вылетает из нее со скоростью Полагая силу сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения пули, найти время Т движения пули в стене.
12.5.6. Судно водоизмещением 12000 т движется прямолинейно со скоростью Сопротивление воды пропорционально квадрату скорости судна и равно 36000 g H при скорости 1 м/с. Какое расстояние пройдет судно после остановки двигателя, прежде чем скорость станет равной 5м/с?
12.6. Растворение веществ
Скорость растворения твердого вещества в жидкости при постоянной температуре пропорциональна наличной в данный момент массе нерастворенного вещества и разности между концентрацией насыщенного раствора и концентрацией в данный момент.
Решение типовых примеров
Пример 8. Нерастворимое вещество содержит в своих порах кг соли. Подвергая его действию воды, установили, что в течение 1 ч растворилась половина содержавшейся в нем соли. Сколько соли растворится в течение того же времени, если объем V воды удвоить? Концентрация насыщенного раствора равна 1/3.
Решение. Пусть x=x(t) - масса нерастворенной соли в момент времени t. Процесс растворения веществ описывается уравнением
где k - коэффициент пропорциональности; m- первоначальная масса соли.
В условиях рассматриваемой задачи имеем задачу Коши
решение которой
Для определения коэффициента k учитываем, что в течение t=1ч растворилось соли. В результате получим Если , то задача Коши имеет вид
Ее решение представимо в виде Полагая t=1ч, получаем, что осталось х=5,2 кг соли.
Примеры для самостоятельного решения
12.6.1. Нерастворимое вещество, содержащее в своих порах 2 кг соли, подвергается действию 30 л воды. Через 5 мин 1 кг соли растворяется. Через сколько времени растворится 99 % первоначальной массы соли, если концентрация насыщенного раствора равна 1/3?
12.6.2. Из некоторого химически недеятельного вещества добывают серу, растворяя ее в бензоле. Найти, сколько серы можно растворить в течение 6 ч, если в данном веществе содержится 6 г серы и если взято 100 г бензола (масса, в которой при насыщении растворяется 11 г серы). Известно, что коэффициент пропорциональности .
12.6.3. Дно резервуара вместимостью 0,3 м3 покрыто смесью соли и нерастворимого вещества. Допуская, что скорость растворения соли пропорциональна разности между концентрацией в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (равной 1/3) и что данная масса чистой воды растворяет 1/3 кг соли в 1 мин, найти, сколько соли будет содержать раствор по истечении 1 ч.
12.6.4. В резервуаре вместимостью 0,1 м3 находится рассол, содержащий 10 кг растворенной соли. В резервуар вливается вода со скоростью м3/мин, а из него вытекает с такой же скоростью смесь, причем концентрация поддерживается однородной (например, посредством перемешивания). Сколько соли останется в резервуаре по истечении 1 ч?
12.6.5. В резервуаре находится 0,1 м3 рассола, содержащего 10 кг растворенной соли. В резервуар вливается вода со скоростью м3/мин, а из него вытекает смесь со скоростью м3/мин, причем концентрация поддерживается однородной посредством перемешивания. Сколько соли содержится в резервуаре по истечении 1 ч?
12.6.6. Воздух в помещении вместимостью V= 10 800 м 3 содержит 0,12 % СО2. В помещение равномерно поступает чистый воздух, содержащий 0,04 % СО2. Сколько кубических метров воздуха ежеминутно поступает в помещение, если по истечении 10 мин содержание СО2 падает до 0,06%? Найти закон изменения объема СО2 с течением времени. (Указание. Считать, что в единицу времени в помещение поступает q м3 воздуха) .
12.6.7. Во фляжку вместимостью 1 л по одной трубке поступает кислород, а по другой вытекает смесь его с содержавшимся во фляжке воздухом. Допуская, что концентрация смеси поддерживается равномерной и воздух содержит 21 % кислорода, построить математическую модель рассматриваемого процесса.