12. Приближенные вычисления вероятностей в схеме испытаний Бернулли

Рассмотрим урну, содержащую шаров, из которых шаров — белые, а оставшиеся шаров — чёрные. Из урны наудачу (без возвращения) выбираются шаров. Вероятность того, что будет выбрано ровно белых и чёрных шаров, находится по формуле (см. определение 8 гипергеометрического распределения вероятностей):

Если число шаров в урне очень велико, то извлечение одного, двух, трёх шаров почти не меняет пропорцию белых и чёрных шаров в урне, так что вероятности не очень отличаются от вероятностей в процедуре выбора с возвращением:

Сформулируем и докажем нашу первую предельную теорему.

Теорема Если и так, что , то для любых фиксированных и

Доказательство. Перепишем следующим образом:

И в числителе, и в знаменателе дроби — произведение фиксированного числа сомножителей, поэтому и дробь есть произведение сомножителей. Каждый из первых сомножителей имеет вид при некоторых фиксированных и и стремится к при . Каждый из оставшихся сомножителей имеет вид и стремится к  при . Окончательно имеем

13. Случайные величины. Закон распределение дискретной случайной величины

Случайной величиной называется числовая величина, которая в результате опыта может принять какое-либо значение из некоторого множества, причем заранее, до проведения опыта, невозможно сказать, какое именно значение она примет. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами X, Y, Z,..., а их возможные значения — строчными латинскими буквами х, у, z. Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно, и непрерывной в противном случае. Законом распределения случайной величины называется любое со­отношение, связывающее возможные значения этой случайной ве­личины и соответствующие им вероятности. Закон распределения дискретной случайной величины задается чаще всего не функцией распределения, а рядом распределения, т.е, таблицей

Х	x1	x2	...	xn	...
P	p1	p1	...	pn	...

В которой x1, x2, ..., xn, ... - расположенные по возрастанию значения дискретной случайной величины X, а р1, р₂, ..., р_п, ... — отвечающие этим значениям вероятности: p_i = Р{Х = хi), i= 1, 2, ..., п, ... . Число столбцов в этой таблице может быть конечным (если соответствующая случайная величина принимает конечное число значений) или бесконечныи. Очевидно, pi= 1.

Многоугольником распределения дискретной случайной величины X называется ломаная, соединяющая точки {xi; pi), расположенные в Порядке возрастания хi.

Функция распределения ДСВ

Если  - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁ < x₂ < … < x_i < … с вероятностями p₁ < p₂ < … < p_i < …, то таблица вида

x1	x2	…	xi	…
p1	p2	…	pi	…

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6