- •Предмет теории вероятности. Основные задачи.
- •Понятие события, классификация
- •Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Элементы комбинаторного анализа
- •Действия над событиями.
- •Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.
- •Теорема сложения вер-тей совместных событий
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
- •Приближенные вычисления вероятностей в схеме испытаний Бернулли
- •Случайные величины. Закон распределение дискретной случайной величины
- •Математические операции над дсв
- •Математическое ожидание дсв
- •Математическое ожидание числа появлений события в нез. Исп.
- •Дисперсия дсв
- •Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях
- •Основные законы распределения дсв
- •Распределение Пуассона
- •Гипергеометрическое распределение
- •Функция распределения вероятностей случайной величины
- •График функции распределения дсв
- •Непрерывные случайные величины. График.
- •Теорема о вер-ти отдельно взятого значения нсв
- •Вероятность попадания нсв в заданный интервал
- •Плотность вероятности нсв
- •Нахождение функций по плотности распределения
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Равномерный закон распределения нсв
- •Показательный закон распределения нсв
- •Нормальный закон распределения нсв
- •Нормальная кривая. Влияние параметров на ее форму.
- •Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону.
- •Закон больших чисел
- •Основные задачи математической статики
- •Сплошное и выборочное наблюдения. Генеральная и выборочная совокупности. Типы выборок. Репрезентативность.
- •Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
- •Оценка параметров генеральной совокупности. Свойства оценок.
- •Основные методы нахождения оценок.
- •Точечные оценки параметров генеральной совокупности по собственно-случайной выборке.
- •Интервальное оценивание. Предельная ошибка выборки.
График функции распределения дсв
Если - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
p1 |
p2 |
… |
pi |
… |
называется распределением дискретной случайной величины.
Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид
У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
Непрерывные случайные величины. График.
Определение Случайную величину назовем непрерывной, если ее функция распределения непрерывна.
Легко видеть (см. Замечание 3.4), что случайная величина непрерывна тогда и только тогда, когда при всех .
Важный класс непрерывных случайных величин -- абсолютно непрерывные случайные величины. Это случайные величины, распределение которых имеет плотность.
Определение Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если существует функция такая, что
, 2. , 3. имеет место равенство:
Теорема о вер-ти отдельно взятого значения нсв
Вероятность попадания нсв в заданный интервал
Вер. попадания СВ Х в задан. интервал равна приращению ее функции распредел. на этом интервале, т.е. вер. того, что ( )= F( ) - F( ). Эта формула следует из формулы F( )=F( )+ P( ) – вопрос №24, если вместо точек взять точки и . Вер. любого отдельного значения непрерывн. СВ равна 0. Доказ-во: Воспользуемся равенством ( )= F( ) - F( ) и устемим к ( ). Тогда получим = . В левой части последн. рав-ва в пределе вместо вер. попадания значения СВ в интервал получим вер. того, что СВ приняла отдельно взятое значение , т.е. . Значение предела в правой части рав-ва зависит от того, явл. ли функц. F(x) непрерывн. в точке или имеет в ней разрыв. Если функц. имеет разрыв, то предел равен величине скачка функции F(x) в точке . Т.к. по предположению функц. F(x) всюду непрерывна, то = F( ) - F( ) = 0. Т.о. = = =0. При непрерывн. распределении вероятностей, т.е. когда функц. распредел. непрерывна, вер. попадания значения непрерывн. СВ на сколь угодно малый участок отлична от 0, тогда как вер. попадания в строго определен. точку равна 0. Воспользовавшись последн. св-вом, докажем, что для непрерывн. СВ выполняются след. рав-ва: Р( ) = = = . Докажем одно из соотношений. Соб. представл. собой сумму 2-ух несовместн. событий и . Тогда по теореме сложения вер. имеем Р( ) = + . Согласно последн. св-ву =0, тогда + = = F( ) - F( ). Следоват-но = F( ) - F( ).
Плотность вероятности нсв
Функц. распредел. вероятностей непрерывной СВ дает полную вероятностн. хар-ку ее поведения. Однако задание непрерывн. СВ с пом. функц. распредел. не является единственным. Ее можно задать с пом. др. функции, кот. назыв. дифференциальн. функц. распределения или плотностью распредел. вероятностей. Пусть X – несрерывн. СВ с интервальн. функц. распредел. F(x). F(x) непрерывна и дифференцируема в исследуемом интервале. Рассмотрим вер. попадания значения СВ в интервал (x; x+ x). P(x<X<x+ x) = F(x+ x) – F(x), т.е. вер. равна приращению функц. на этом участке. Определим вер., кот. приходится на единицу длины рассматриваемого участка. Для этого разделим обе части последн. рав-ва на x: = = = = . = f(x). Опред.: Дифференц. функц. распредел. или плотностью распредел. вер. называется 1-ая производная от интегральн. функции распредел. Замеч.: Для хар-ки распредел. вер. дискретн. СВ дифференц. функция распредел. непременима.