18. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

Эксперимент повторяется n раз, А- событие.

Р(А)=р

Р(неА)=q=1-p

X-число появлений события А в n-независимых испытаниях.

М(Х)=np

D(X)=?

Теорема: дисперсия числа появления события n-независимых испытаний равно npq.

D(X)=npq, где р- вероятность появления события;р=Р(А);q=Р(неА)

Док – во:

Х=Х₁+Х₂+…+Х_n ,где X_i- появление (непоявление) события А(i изменяется от 1 до n) в конкретном i-том эксперименте.

Х_i 0 1

P q p

D(X)=D(X₁)+D(X₂)+…+D(X_n)

M(X₁²)= 0*q+1*p=p

D(X₁)=M(X₁²)-(M(X₁))²=p-p²=p(1-p)=pq=>D(X)=npq

19. Основные законы распределения дсв

Биномиальным называют закон распределения Д.С.В. Х - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, вер-ть возможного значения Х=k (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли: Pn (k)=Cn^k* p^k *q^(n-k)

Распределение Пуассона

Говорят, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , где , и пишут: , если принимает значения с вероятностями  . Таблицу распределения читатель может нарисовать самостоятельно.

Гипергеометрическое распределение

Говорят, что случайная величина имеет гипергеометрическое распределение с параметрами , и  , где , , если принимает целые значения такие, что , , с вероятностями  . Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей белых шаров и не белых.

20. Функция распределения вероятностей случайной величины

Описание распределения набором вероятностей не очень удобно: слишком много существует борелевских множеств. Мы описали дискретные распределения таблицей распределения, абсолютно непрерывные — плотностью распределения. Попробуем поискать какой-нибудь универсальный способ описать любое возможное распределение.

Можно поставить вопрос иначе: распределение есть набор вероятностей попадания в любые борелевские множества на прямой. Нельзя ли обойтись знанием вероятностей попадания в какой-нибудь меньший набор множеств на прямой? Борелевская -алгебра порождается интервалами (равно как и лучами ), поэтому можно ограничиться только вероятностями попадания в такие лучи для всех . А уже с их помощью можно будет определить и вероятность попасть в любое борелевское множество.

Замечание. Можно с таким же успехом ограничиться набором вероятностей попадания в интервалы , или в , или в .

Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция , при каждом равная вероятности случайной величине принимать значения, меньшие  :

Перечислим основные дискретные и абсолютно непрерывные распределения и найдём их функции распределения.

Если функция распределения F_ (x) непрерывна, то случайная величина  называется непрерывной случайной величиной.

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p_ (x), которая связана с функцией распределения F_ (x) формулами

и .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .