Свойства взаимной корреляционной функции.

Свойство 1.

При одновременной перестановке индексов и аргументов взаимная корреляционная функция не изменяется:

.

Свойство 2.

Прибавление к случайным функциям Х(t) и Y(t) неслучайных слагаемых  (t) и ψ(t) не изменяет их взаимную корреляционную функцию:

X₁(t) =X(t)+ (t)

Y₁(t)= Y(t)+ (t)

Свойство 3.

При умножении случайных функций X(t) и Y(t) на неслучайные множители  (t) и (t) соответственно взаимная корреляционная функция умножается на произведение  (t) (t):

X₁(t) =X(t)∙ (t)

Y₁(t)= Y(t)∙(t)

.

Свойство 4.

Абсолютная величина взаимной корреляционной функции не превышает среднего геометрического их дисперсий:

 .

Нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X(t) и Y(t) называют неслучайную функцию двух независимых аргументов t₁ и t₂, которая определяется следующим образом:

, - средние квадратические отклонения по сечениям t₁ и t₂ соответственно.

Абсолютное значение нормированной взаимной корреляционной функции двух случайных функций X(t) и Y(t) не превышает единицы:

Если нормированная взаимная корреляционная функция двух случайных функций X(t) и Y(t) равна 0, то случайные функции X(t) и Y(t) не коррелированные.

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ.

Стационарная случайная функция – функция, математическое ожидание которой постоянно при всех значениях аргумента t.

Для стационарной случайной функции справедливы равенства

,

,

что соответствует требованию постоянства по аргументу математического ожидания и корреляционной функции. Из приведенных выше выражений видно, что корреляционная функция зависит только от разности аргументов. Обозначая t₂-t₁=τ получаем выражение для корреляционная функция

K_x(t₁, t₂)= k _x(τ).

т.е. корреляционная функция зависит только от одного аргумента – τ.

Свойства корреляционной функции стационарной случайной функции.

Свойство 1.

Дисперсия стационарной случайной функции постоянна при всех значениях аргумента t и равна значению корреляционной функции в начале координат (τ=о):

D_x(t₁, t₂)= D_x = k _x(0).

Свойство 2

Корреляционная функция стационарной случайной функции – чётная функция, то есть k _x(τ)=k _x(-τ).

Свойство 3.

Абсолютная величина корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает её значения в начале координат:

k _x(τ)≤k _x(0).

Нормированной корреляционной функцией стационарной случайной функции называют неслучайную функцию аргумента τ вида:

ρ_x(τ)=κ_x(τ)⁄ κ_x(о).

Свойства нормированной корреляционной функции

Свойство 1.

Абсолютное значение нормированной корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает единицы

|ρ_x(τ)| ≤ 1

Свойство 2.

Корреляционная функция стационарной случайной функции – чётная функция, то есть

ρ_x(τ) = ρ_x(-τ)

Свойство 3.

Значение корреляционной функции начале координат равно единице

ρ_x(0) = 1

Эргодическими стационарными случайными функциями называются такие функции у которых математическое ожидание по аргументу совпадает с математическим ожиданием по ансамблю. Они более удобны для экспериментальных исследований. Статистические свойства эргодических стационарных случайных функций могут быть оценены по одной реализации, полученной на достаточно большом интервале времени. Характеристики случайных функций в этом случае определяются как среднее значение интеграла по формулам

,

где

, , ,

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Неравенство Чебышева.

Случайная величина X с математическим ожиданием mx и дисперсией Dx при независимых испытаниях сходится по вероятности к математическому ожиданию mx, так что для любого >0 справедливо:

при .

Полагая ε = 3 получаем “правило трех сигм”, утверждающее, что рассеивание любой случайной величины практически не выходит за пределы от m_x.

Теорема Бернулли

Если проводится n независимых испытаний случайного события A, вероятность которого P(A) = p, то относительная частота m/n появления события A (m  число появлений A) при большом n приближенно равна вероятности p:

при .

В этом состоит теорема Бернулли. Заметим, что теорема не утверждает, что данное соотношение достоверно, однако, если n достаточно велико, то вероятность его выполнения близка к 1 (например, 0.98 или 0.999), что практически достоверно.

Теорема Чебышева

Одно из основных утверждений закона больших чисел состоит в том, что среднеарифметическое значения n случайных величин с равными математическими ожиданиями и дисперсиями D[x_i]<c при большом n оказывается приближенно равным a:

при n .

Центральная предельная теорема

Закон больших чисел утверждает , что при n  

,

где а = M[x_i]. Центральная предельная теорема утверждает, что распределение суммы большого числа независимых случайных величин при весьма общих условиях близко к нормальному распределению.

,

где , т.е среднеарифметическое значение при больших n распределено приблизительно по нормальному закону с математическим ожиданием a и дисперсией . Этот факт записывают иначе, нормируя сумму:

.

Теорема Гливенко

Пусть x1, x2,...,xn - выборка из n независимых наблюдений над случайной величиной X с функцией распределения F(x). Расположим наблюдения в порядке возрастания; получим

-вариационный ряд. Определим функцию эмпирического распределения

,

где - число тех наблюдений, для которых x_i<x. Ясно, что - ступенчатая функция; это функция распределения, которое получается, если значениям x₁,...,x_n присвоить вероятности, равные 1/n. Ясно, что -функция случайная , так как зависит от наблюдений x₁,...,x_n.

Теорема Гливенко: при с вероятностью 1.