Правило умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий А и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

р(А×В)=р(В)р(А|В) или р(А×В)=р(А)р(В|А)

Правило умножения можно распространить на случай произвольного числа событий:

p(А₁ А₂ … А_n) = p(A₁)p(A₂|A₁)p(A₃|A₁A₂)…p(A_n)|A₁A₂…A_n-1)

Пример использования формулы.

Для независимых событий справедливо равенство:

р(А×В)=р(В)р(А),

или в общем случае:

p(А₁ А₂ … А_n) = ∏ р(А_i).

Эти формулы также могут использоваться для проверки независимости событий, причем они более предпочтительны, поскольку не содержат операции деления.

Вероятность суммы событий.

Для несовместных событий выполняется равенство:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Некоторые формулы комбинаторики. Правило сложения.

Если некоторый объект х можно выбрать n способами, а объект у – m способами, то любой из этих объектов x y может быть выбран (n+ m) способами.

Пусть Х и У – два непересекающихся множества, Х+У – множество, образованное объединением этих множеств. Обозначим число элементов этого множества как |Х+У|, числа элементов множеств Х и У - |Х|, |У| соответственно.

Тогда правило сложения примет вид:

|Х+У|=|Х|+|У|.

Правило умножения.

Если из некоторого конечного множества первый объект х можно выбрать n способами, а второй объект у – m способами, то оба объекта (х и у) в указанном порядке можно выбрать (n×m) способами.

Замечание.

Эти правила можно распространять на большее число объектов.

Пример.

Найти число прямоугольников с целочисленными границами.

Объекты х – целочисленные отрезки, принадлежащие оси Ох на отрезке [0, 2], а у – оси Оу на отрезке [0, 2].

Любой прямоугольник можно отобразить как произведение этих отрезков. Если обозначить n – число объектов х, m - число объектов у, то искомое число прямоугольников равно n×m.

Размещения и перестановки

Пусть (х₁, х₂, …, х_k) – некоторая последовательность длиной k. Будем её называть строкой. Пусть X – фиксированное множество n различных элементов, из которых формируются строки. Любая строка (х₁, х₂, …, х_k) длиной k составленная из элементов множества X называется размещением с повторениями из n элементов по k Число таких размещений определяется выражением:

.

Две строки будем считать различными, если хотя бы для одного номера i элементы х_i и y_i различаются, а элементы х_1, х_{2, …,} х_k берутся из одного множества Х, состоящего из n элементов.

Пример.

Слово «комната» - размещение с повторениями из 33 элементов по 7.

Х=(а, б, …, я), n=33

Рассмотрим строку (х₁, х₂, …, х_k) длиной k, составленную из n элементов множества Х, в которой элементы х₁, х₂, …, х_k различаются между собой. Такая строка называется размещением без повторения из n элементов по k, и число размещений вычисляется по формуле:

.

Если k=n, то такое размещение называется перестановкой из n элементов. Число таких перестановок равно:

Р_n= n!

Сочетания

Пусть Х – множество из n элементов. Любое подмножество Y из k элементов называется сочетанием k элементов из n элементов. Очевидно, что .

Число сочетаний можно определить по формуле:

1. для сочетаний без повторений:

;

2) для сочетаний с повторениями:

.

Пример.

Монета бросается пять раз. Определить вероятность того, что герб выпадет ровно три раза.

Используем формулу

р(А)=m(A)/n

Общее число возможных исходов можно определить как число размещений с повторениями

Здесь X = {Г, Ц}, следовательно, в этой формуле n = 2; k = 5

Схема испытаний Бернулли

Пусть производятся n независимых испытаний (опытов), каждое из которых заканчивается некоторым событием А с вероятностью р(А)=p или событием (неудача) с вероятностью р( )=1-p=q.

Для определения вероятности появления события А k раз в n испытаниях используется формула Бернулли:

.

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит:

1. менее k раз - Р_n(0)+Р_n(1)+…+Р_n(k - 1);

2. более k раз - Р_n(k + 1)+Р_n(k + 2)+…+Р_n(n);

3. не менее k раз - Р_n(k)+Р_n(k + 1)+…+Р_n(n);

4. не более k раз - Р_n(0)+Р_n(1)+…+Р_n(k).