- •Пример.
- •Определение случайного события.
- •Несовместные события.
- •Вероятность случайного события.
- •Свойства вероятности
- •Классическое определение вероятности события
- •Пример.
- •Основные формулы теории вероятностей Независимость случайных событий.
- •Правило умножения вероятностей
- •Вероятность суммы событий.
- •Некоторые формулы комбинаторики. Правило сложения.
- •Правило умножения.
- •Пример.
- •Размещения и перестановки
- •Сочетания
- •Формула Пуассона
- •Формула полной вероятности.
- •Случайная величина.
- •Пример.
- •Дискретные случайные величины.
- •Непрерывные случайные величины.
- •Числовые характеристики случайных величин.
- •Свойства дисперсии.
- •Некоторые законы распределения. Биномиальный закон распределения.
- •Закон распределения Пуассона.
- •Полиномиальное распределение
- •Пример.
- •Равномерный закон распределения случайной величины.
- •Нормальный закон распределения случайной величины (закон Гаусса).
- •Стандартная форма нормального закона распределения.
- •Распределение «хи-квадрат».
- •График распределения.
- •Показательный (экспоненциальный) закон распределения.
- •Структурные характеристики распределения случайной величины.
- •Медиана.
- •Квантиль.
- •Системы случайных величин.
- •Свойства функции распределения.
- •Свойства плотности вероятности.
- •Математическое ожидание и дисперсия системы случайных величин.
- •Дисперсия двумерной случайной величины.
- •Условное математическое ожидание.
- •Свойства коэффициента корреляции.
- •Функции случайных величин. Функции одной случайной величины.
- •Функция двух случайных величин.
- •Случайные функции.
- •Свойства математического ожидания случайной функции.
- •Свойства дисперсии случайной функции.
- •Свойства корреляционной функции.
- •Свойства взаимной корреляционной функции.
- •Свойства корреляционной функции стационарной случайной функции.
- •Математическая статистика. Выборочный метод.
- •Свойства эмпирической функции распределения.
- •Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки.
- •Метод моментов.
- •Метод наибольшего правдоподобия.
- •Распределение дискретной случайной величины.
- •Распределение непрерывной случайной величины.
- •Распределение выборочных характеристик.
- •Пример 1.
- •Пример 2.
- •3.Распределение выборочной дисперсии.
- •Доверительные интервалы.
- •Проверка статистических гипотез.
- •1.Понятие статистической гипотезы.
- •Проверкa гипотезы о равенствt средних двух нормальных распределений с известными дисперсиями.
- •Двухвыборочный t-тест с одинаковыми и различными дисперсиями.
- •Двухвыборочный f-тест для дисперсий.
- •Парный двухвыборочный t-тест для средних значений.
- •Дисперсионный анализ.
- •Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений и с повторениями
Проверка статистических гипотез.
1.Понятие статистической гипотезы.
Под статистической гипотезой понимается высказывание относительно случайной величины, которое можно проверить по данной выборке, т.е. по результатам наблюдений. Процедуру сопоставления высказываний гипотезы с выборочными данными называют проверкой статистической гипотезы.
Выделяют следующие основные виды высказываемых в ходе статистической обработки данных гипотез:
О виде закона распределения случайной величины;
Об однородности двух или нескольких обрабатываемых выработок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей;
О числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности ;
О виде зависимости между компонентами исследуемого многомерного признака.
О независимости и стационарности обрабатываемого ряда наблюдений.
Проверяемую статистическую гипотезу принято называть основной или нулевой гипотезой (H0:).
Противоположную гипотезу называют альтернативной или конкурирующей (H1:):
Например, проверяется гипотеза о том ,что математическое ожидание равно числу a. Необходимо на основании данных наблюдения принять или отвергнуть данную гипотезу. Нулевая гипотеза в данном случае формулируется как
H0: mx= a.
Альтернативная –
H1: mx ≠ a.
Т.к. проверка статистических гипотез основывается на наблюдаемых статистических данных, то, отвергая или принимая гипотезу, мы всегда рискуем совершить ошибку. Ошибки могут быть двух родов:
гипотеза H0 отвергается, в то время как она верна;
гипотеза не отвергается, в то время, как она в действительности неверна.
Проверка статистической гипотезы осуществляется с помощью различных статистических критериев. Произвольный критерий обозначим как φ (фи).
В качестве критерия φ используется некоторая случайная величина, значения которой могут быть вычислены на основании имеющихся статистических данных.
Например, при проверке гипотезы о соответствии наблюдаемых данных некоторому закону распределения используется критерий хи-квадрат (χ2):
На множестве возможных значений критерия выбирается подмножество, называемое критической областью. Если вычисленное значение критерия принадлежит критической области, то нулевая гипотеза отвергается.
Критическая область выбирается таким образом, чтобы вероятность совершить ошибку первого рода не превосходила некоторого заранее определённого числа , которое называется уровнем значимости. В качестве в экономических расчетах принимается значение вероятности - от 0,01 до 0,05.
Вероятность совершить ошибку второго рода обозначается β, величина (1- β) определяет мощность критерия, и она равна вероятности отвергнуть неверную гипотезу.
Граничные точки критической области называются критическими точками. Возможны три варианта расположения критической области. Они зависят от вида нулевой или альтернативной гипотез и закона распределения статистического критерия φ .
1-ый вариант: правосторонняя критическая область
П равая критическая точка определяет критическую область, которая является зоной отклонения гипотезы.
Если рассчитанное значение критерия будет больше чем правостороннее критическое значение: φр > ,то гипотеза отвергается при уровне значимости . - это вероятность того что случайная величина φ будет больше , т.е. =Р(φр> ).
2 -ой вариант: левосторонняя критическая область
Левая критическая точка определяет критическую область, которая является зоной отклонения гипотезы.
Если рассчитанное значение критерия меньше чем левостороннее критическое: φр < , то гипотеза отклоняется при уровне значимости . Вероятность совершить ошибку 1 рода есть вероятность того, что φр < , т.е. =Р(φр < ).
3-ий вариант: двусторонняя критическая область
П равая и левая критические точки определяют правую и левую зоны отклонения гипотезы соответственно. Вероятность совершить ошибку первого рода есть вероятность попадания произвольного критерия в отрезок между правой и левой критическими точками: =Р( <φр< ).