- •Пример.
- •Определение случайного события.
- •Несовместные события.
- •Вероятность случайного события.
- •Свойства вероятности
- •Классическое определение вероятности события
- •Пример.
- •Основные формулы теории вероятностей Независимость случайных событий.
- •Правило умножения вероятностей
- •Вероятность суммы событий.
- •Некоторые формулы комбинаторики. Правило сложения.
- •Правило умножения.
- •Пример.
- •Размещения и перестановки
- •Сочетания
- •Формула Пуассона
- •Формула полной вероятности.
- •Случайная величина.
- •Пример.
- •Дискретные случайные величины.
- •Непрерывные случайные величины.
- •Числовые характеристики случайных величин.
- •Свойства дисперсии.
- •Некоторые законы распределения. Биномиальный закон распределения.
- •Закон распределения Пуассона.
- •Полиномиальное распределение
- •Пример.
- •Равномерный закон распределения случайной величины.
- •Нормальный закон распределения случайной величины (закон Гаусса).
- •Стандартная форма нормального закона распределения.
- •Распределение «хи-квадрат».
- •График распределения.
- •Показательный (экспоненциальный) закон распределения.
- •Структурные характеристики распределения случайной величины.
- •Медиана.
- •Квантиль.
- •Системы случайных величин.
- •Свойства функции распределения.
- •Свойства плотности вероятности.
- •Математическое ожидание и дисперсия системы случайных величин.
- •Дисперсия двумерной случайной величины.
- •Условное математическое ожидание.
- •Свойства коэффициента корреляции.
- •Функции случайных величин. Функции одной случайной величины.
- •Функция двух случайных величин.
- •Случайные функции.
- •Свойства математического ожидания случайной функции.
- •Свойства дисперсии случайной функции.
- •Свойства корреляционной функции.
- •Свойства взаимной корреляционной функции.
- •Свойства корреляционной функции стационарной случайной функции.
- •Математическая статистика. Выборочный метод.
- •Свойства эмпирической функции распределения.
- •Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки.
- •Метод моментов.
- •Метод наибольшего правдоподобия.
- •Распределение дискретной случайной величины.
- •Распределение непрерывной случайной величины.
- •Распределение выборочных характеристик.
- •Пример 1.
- •Пример 2.
- •3.Распределение выборочной дисперсии.
- •Доверительные интервалы.
- •Проверка статистических гипотез.
- •1.Понятие статистической гипотезы.
- •Проверкa гипотезы о равенствt средних двух нормальных распределений с известными дисперсиями.
- •Двухвыборочный t-тест с одинаковыми и различными дисперсиями.
- •Двухвыборочный f-тест для дисперсий.
- •Парный двухвыборочный t-тест для средних значений.
- •Дисперсионный анализ.
- •Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений и с повторениями
Математическая статистика. Выборочный метод.
Пусть для изучения количественного (дискретного, непрерывного) признака X из генеральной совокупности извлечена выборка х1, х2, …, хn (реализация величины выборки, n – объём выборки).
Наблюдающиеся значения признака называют вариантами, а последовательность значений признака, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом.
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант хi вариационного ряда и соответствующих им частот ni или относительных частот i, при этом сумма всех частот ni равна объёму выборки n, а сумма всех относительных частот равна единице.
Статистическое распределение выборки можно задать в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот.
В качестве частоты интервалов принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал.
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x:
F*(x)=nx/n,
где nx - число вариант, меньших x,
n – объём выборки.
Свойства эмпирической функции распределения.
Свойство 1.
Значение эмпирической функции распределения принадлежит отрезку [0, 1].
Свойство 2.
Эмпирическая функция распределения – неубывающая по своему аргументу функция.
Свойство 3.
Если x1 – наименьшая варианта, а xk – наибольшая варианта, то F*(x)=0 при x<x1 , F*(x)=1 при x> xk.
При дискретном распределении признака X полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки:
(x1, n1), (x1, n2), …, (xk, nk),
где
хi – варианта
ni - частота, соответствующая варианте хi.
Полигон относительных частот – ломаная линия, отрезки которой соединяют точки:
(x1, 1), (x1, 2), …, (xk, i),
где
хi – варианта
i - относительная частота, соответствующая варианте хi.
При непрерывном распределении признака X весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивается на ряд частичных интервалов длины h и находится сумма частот вариант, попавших в i-ый интервал.
Гистограмма частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению ni/h, которое называется плотностью частоты.
Площадь частичного i-того прямоугольника равна сумме частот вариант, попавших в i-тый интервал, а площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объёму выборки n.
Гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высотами – отношения /h.
Площадь частичного i-того прямоугольника гистограммы относительных частот равна сумме относительных частот вариант, попавших в i-тый интервал, а площадь гистограммы частот равна сумме всех относительных частот i, то есть равна единице.
Интервалы могут быть не равными. Тогда hi*(i/hi)=hi, где hi – длина i-того интервала.
При равных интервалах значение h принимают равным единице.