62. Что такое условие согласования норм?

Где – норма в пространстве

63. Дайте определение аппроксимации разностной задачей исходной дифференциальной задачи.

Рассмотрим задачу

Где L – линейный дифференциальный оператор, l – оператор дополнительных (начальных, граничных) условий, , заменяем на - дискретное множество узлов – сетка, заменяем на – сеточные функции (зависят от параметра h),

Тогда разностная схема

Аппроксимирует первоначальную задачу и имеет порядок аппроксимации m, если

Где (погрешности аппроксимации):

Где

64. Дайте определение устойчивости разностной схемы.

Разностная схема устойчива, если решение равномерно по h непрерывно зависит от входных данных. Иными словами, для каждого найдется такое , не зависящее от шага h (по крайней мере, для достаточно малых h), что

Если

Непрерывную зависимость разностного решения от называют устойчивостью по правой части, а непрерывную зависимость от – устойчивостью по граничным условиям. Устойчивость по граничному условию при называют устойчивостью по начальным данным.

65. Дайте определение сходимости разностной схемы.

Разностная схема

Сходится и имеет m-й порядок точности, если

66. Что означает, что разностная задача имеет m-й порядок точности?

См. выше

67. Дайте определение корректной постановки разностной схемы.

Разностная задача поставлена корректно, если при всех достаточно малых :

1) Разностная задача однозначно разрешима при любых входных данных

2) Решение равномерно по h непрерывно зависит от входных данных (свойство устойчивости)

68. Что означает выражение: из аппроксимации и устойчивости разностной схемы следует ее сходимость? Для каких разностных схем оно справедливо?

Если линейная схема

Устойчива, а - решение задачи

То из (где - линейные операторы, , – постоянные, не зависящие от выбора h и выбора входных данных ) следует

Справедливо для линейных разностных схем

69. Что такое шаблон разностного оператора? Приведите примеры.

Шаблоном разностного оператора называется множество узлов, на котором записывается оператор.

Для уравнения теплопроводности:

Где

70. Приведите пример явной разностной схемы. В чем ее достоинства и недостатки?

Я вная схема ( для уравнения теплопроводности :

Достоинства: простота вычислений (каждый следующий слой (s+1) находится непосредственно из предыдущего (s))

Недостатки: схема устойчива условно. Устойчива только при ( если уравнение )

7 1. Приведите пример неявной разностной схемы. В чем ее достоинства и недостатки?

Неявная схема:

Чисто неявная схема ( ) для уравнения теплопроводности :

Достоинства: безусловная устойчивость схемы

Недостатки: более сложная процедура вычисления. На каждом слое схема представляет собой систему линейных уравнений для определения величин , правые части этих уравнений известны, поскольку содержат значения решения с предыдущего слоя. Матрица линейной системы трехдиагональна, и решение можно вычислить алгебраической прогонкой.

72. Напишите условия устойчивости явной разностной схемы.

Явная схема является условно устойчивой при выполнении условия

73. Приведите пример безусловно устойчивой схемы.

Чисто неявная схема является безусловно устойчивой.

74. Приведите пример экономичной разностной схемы.

Схемы, применяемые для решения многомерных задач и сочетающие в себе достоинства явных и неявных схем, называются экономичными. Экономичная разностная схема является безусловно устойчивой и требует при переходе со слоя на слой числа арифметических операций, пропорционального числу узлов сетки.

Пример – схема переменных направлений (см. ниже)

75. Напишите схему переменных направлений (схему Письмена-Рэкфорда)

Рассмотрим начально-краевую задачу:

Введем двумерную пространственную сетку и одномерную временную сетки:

Заменим дифференциальные операторы конечно-разностными:

Схема Письмена-Рэкфорда осуществляет переход со слоя s на слой s+1 в два шага, используя промежуточный (дробный) слой:

Уравнение (1) является неявным по первому направлению и явным по второму, а уравнение (2) является явным по первому направлению и неявным по второму. Из (1) и (2) получаем

76. Дайте определение однородной разностной схемы.

Однородными разностными схемами называются такие схемы, вид которых не зависит ни от выбора конкретной задачи из данного класса, ни от выбора разностной сетки.

77. Что такое шаблонные функционалы?

Шаблонными функционалами называются коэффициенты однородных разностных схем, определенные как функционалы коэффициентов дифференциального уравнения.

78. Дайте определение консервативной разностной схемы.

Схемы, выражающие на сетке законы сохранения, называются консервативными или дивергентными.

79. Приведите пример консервативной разностной схемы.

Метод баланса позволяет получать схемы, коэффициенты которых во всех узлах сетки вычисляются по одним и тем же формулам как средние значения коэффициентов дифференциального уравнения в окрестности узла сетки.

Рассмотрим стационарное уравнение теплопроводности

. – мощность стоков тепла.

Введем равномерную сетку

Рассматриваем баланс тепла при . Считая при при ( – поток тепла), получим разностную схему для уравнения баланса (консервативную)

Где