80. Приведите пример неконсервативной разностной схемы.

Рассмотрим задачу:

Где коэффициент k – разрывный:

Составим разностную схему для уравнения

Разобьем интервал на 10 точек и будем искать y в виде

Для получим:

Откуда следует, что

То есть

Учитывая, что в средней точке

Получаем, что

Это численный результат. Причем он не зависит от h. Решая задачу точно (решение ищем в том же виде) и учитывая, что в точках поток должен быть одинаковым, получаем, что

Таким образом, рассмотренная схема расходится. Решение (решение, к которому стремится численное решение, полученное при помощи данной схемы, при ) не совпадает с точным. Можно показать, что нарушает баланс (закон сохранения) тепла при . Следовательно, схема является неконсервативной.

81. Какие методы построения консервативных разностных схем вам известны?

1) Интегро-интерполяционный метод – метод баланса построения консервативных разностных схем.

2) Метод конечных элементов – проекционно-сеточный метод.

82. В чем состоит интегро-интерполяционный метод (метод баланса)?

Метод баланса позволяет получать схемы, коэффициенты которых во всех узлах сетки вычисляются по одним и тем же формулам как средние значения коэффициентов дифференциального уравнения в окрестности узла сетки.

Рассмотрим стационарное уравнение теплопроводности

. – мощность стоков тепла

Рассматриваем баланс тепла при . Считая при ( – поток тепла), получим разностную схему для уравнения баланса (консервативную):

Где

83. Опишите алгоритм метода конечных элементов.

Метод конечных элементов заключается в поиске решения методом разложения искомой функции по системе функций, каждая из которых определена в своей подобласти, вне которой она тождественно равняется нулю. Т. о. задача сводится к отысканию коэффициентов разложения.

Рассмотрим задачу:

Разобьем интервал [0,1) на систему интервалов и введем для каждого фукнцию :

Где

С истема функций полна в том смысле, что любую непрерывную функцию с возможными изломами в узловых точках и обращающуюся в нуль в граничных точках отрезка [0,1] можно представить в виде линейной комбинации функций

Где . Для можно сформулировать аналог свойства ортогональности:

Умножим (1) на и проинтегрируем от 0 до 1

Проинтегрируем полученную формулу по частям с учетом граничных условий из (1)

Представим этот интеграл в виде суммы интегралов:

ищем в виде

Где

Получаем разностную схему:

К этим уравнениям следует добавить граничные условия

84. Приведите пример простейшего базиса метода конечных элементов.

85. Сформулируйте необходимое спектральное условие устойчивости Неймана для решения разностной задачи Коши.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения переноса:

Разностная схема для этой задачи имеет вид:

Введем равномерную норму на слое:

Для устойчивости решения задачи (1) по начальным данным необходимо, чтобы условие выполнялось, если начальная функция есть какая-то гармоника

Где – вещественный параметр. Тогда решение задачи (1) примет вид

Для выполнения необходимо, чтобы выполнялось

где – постоянная, не зависящая от . Так как

Гармоника является собственной функцией оператора перехода со слоя s на слой s+1:

Соответствующей собственному значению (2)

Линия, которую пробегает точка на комплексной плоскости, когда α пробегает вещественную ось, вся состоит из собственных значений и является спектром оператора перехода.

Необходимое спектральное условие устойчивости Неймана (3): спектр оператора перехода, соответствующего разностному уравнению, должен лежать в круге радиуса на комплексной плоскости.