86. Что такое асимптотическая формула?
Рассмотрим задачу Коши:
Пусть параметр
изменяется в некоторой окрестности
значений
Предположим, что при
решение
задачи известно. Нас интересует решение
при
,
но достаточно малых.
Пусть
Тогда при
Где
Формула (1)
называется асимптотической формулой
решения
по малому параметру
.
Асимптотическими
формулами по малому параметру будем
называть такие формулы, в которых
некоторые члены, называемые остаточными
членами, выписываются не точно, а
указываются лишь их свойства при
,
например порядок стремления к нулю при
87. Какие члены асимптотической формулы называются остаточными?
См. выше
88. Может ли асимптотический ряд быть расходящимся?
Рассмотрим задачу Коши:
Разложим
функцию
в ряд по степеням
(предполагая, что она обладает нужным
числом производных по
)
Где
– тейлоровские коэффициенты
Тогда решение задачи Коши представимо в виде формального степенного ряда
Который
называется асимптотическим рядом или
асимптотическим разложением по малому
параметру
при фиксированном k
и
.
Если же
фиксировано, а
,
то
может предела не иметь, т.е. построенный
ряд сходящимся, вообще говоря, не
является.
89. Может ли асимптотическая формула обеспечить произвольную степень точности? Если да, то приведите пример.
Тогда при
Где
Формула (1) называется асимптотической формулой решения по малому параметру .
Асимптотическими формулами по малому параметру будем называть такие формулы, в которых некоторые члены, называемые остаточными членами, выписываются не точно, а указываются лишь их свойства при , например порядок стремления к нулю при . В реальных задачах является малой, но не бесконечно малой величиной. Поэтому асимптотические формулы произвольную степень точности обеспечить не могут и в этом их принципиальный недостаток. Асимптотические формулы удобны тогда, когда нужно получить качественную картину решения.
90. Что в асимптотических методах понимается под возмущением?
Малые члены, отбрасываемые в уравнении, называются возмущениями.
91. Что такое регулярное возмущение?
Если входит в регулярным (непрерывным) образом, то получаем регулярные возмущения
92. Что такое сингулярное возмущение?
Рассмотрим уравнение движения маятника в среде с сопротивлением:
Где
момент инерции тела относительно оси
вращения. Если
,
то порядок уравнения меняется и оба
граничных условия учесть уже нельзя.
Поэтому в окрестности начальной точки
правильной модели мы не получим. В данном
случае говорят о нерегулярной или
сингулярной зависимости от
и о сингулярных возмущениях.
93. Какое решение невозмущенного уравнения называется устойчивым?
Рассмотрим задачу Коши
Вырожденное
уравнение (
:
может иметь несколько решений
Корень
называется устойчивым при
,
если выполняется условие
9
4.
Что такое область влияния (притяжения)
корня невозмущенного уравнения?
Областью влияния (притяжения корня называется область, в которой интегральные кривые направлены к корню.
95. В чем состоит метод ВКБ?
Рассмотрим уравнение вида
Решение данного уравнения носит колебательный характер
Сделаем замену:
Перейдем к новой переменной t:
Соответственно
Где в последнем
Вырожденное уравнение при
имеет решение
Для
(где
– решение, для которого
)
получим уравнение:
Решение которого удовлетворяет уравнению
Решение
этого уравнения заведомо существует и
единственно при
,
где
.
Учитывая выражение для t,
последние можно переписать в виде:
При этом условии
Следовательно
Для
уравнения
можно
аналогично получить
