3. Задача Коши. Теорема о существовании решения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение 1-ого порядка вида F(x, y, y`) = 0 (14) или y`= f (x,y)(15). Для такого произведения справедлива следующая теорема, которая называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Теорема: Если в уравнении y`= f (x,y), функция f(x,y) и её частная производная непрерывны в некоторой области D, плоскости x0y, содержащей точку (x₀, y₀), то существенная решение этого уравнения y = φ (x) удовлетворяют условиям при

(x = x₀ и y = y₀) или y (x₀) = (y₀).

Геометрически это означает, что существует единственная функция y = φ(x), график которой происходит через точку (x₀, y₀).

Определение: Условие Y|_{x = x0} = y₀ (16) называется начальным условием.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функцией y = φ(x, с), которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовлетворяет следующим условиям:

1. Она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конечном значении С.

2. Каково бы ни было начальное условие Y|_{x = x0} = y₀ (16) можно найти такое значение С, (С = С₀), что функция равная y = φ (x, с) будет удовлетворять данному начальному условию.

Определение: Частным решением называется любая функция вида y = φ (x, с₀), которая получается из общего решения y = φ (x, с), если в последнем произвольной постоянной С придать определенную постоянную С₀.

Пример: S= +C₁t+C₂ (3), y=C/x (9) – общие решения

S= +V₀t+S₀ (5), y=6/x (11) – частные.

Задачу нахождения частного решения дифференциального уравнения y`= f (x,y) (15), удовлетворенную заданным условием Y|_{x = x0} = y₀ (16) называют задачей Коши.

Уравнение с разделяющимися переменными.

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:

Пусть , тогда . Мы получили равенство двух дифференциальных уравнений, а интегралы будут отличаться на постоянные слагаемые.

Из следует,что называется уравнением с разделенными переменными.

Уравнение вида:

- уравнение с разделяющимися переменными

Пример:

Однородное уравнение первого порядка.

f(x,y) называется однородной функцией n-ного измерения относительно x и y, если при любом t справедливо f(tx,ty)=

= – однородная функция первого измерения

– однородная функция нулевого измерения

Однородная функций нулевого измерения легко записать в виде , для этого достаточно взять

Определение:

Уравнение первого порядка y’=f(x,y) называется однородным относительно x и y, если f(x,y)- функция нулевого измерения.

Решение:

Учитывая, что f(x,y)= получаем:

Y’=

Y’=

t’x+t=

– с разделяющимися

+ обратная замена

Замечание:

Уравнение вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 будут однородными в том случаи, если M(x,y) и N(x,y) однородные функции одного и того же измерения.

Это следует из того, что отношение двух однородных функций одного и того же измерения есть однородная функция нулевого измерения.

6^0 Уравнения, приводящиеся к однородным.

Уравнение вида:

dy/dx=(ax+by+c)/(a_1 x+b_1 y+c_1 )

Называется приводящимися к однородным, при с=c_1=0

Если хотя бы одна из сне равна нулю, то делается замена:

x=x_(1+h) y=y_1+k dy/dx=(dy_1)/(dx_1 )

(dy_1)/(dx_1 )=(ax_1+by_1+ah+bk+c)/(a_1 x_1+b_1 y_1+a_1 h+b_1 k+c_1 )

Подбираем ah+bk+c=0 и a_1 h+b_1 k+c_1=0

(dy_1)/(dx_1 )=(ax_1+by_1)/(a_1 x_1+b_1 y_1 )

Используя замену

x=x_(1+h) y=y_1+k dy/dx=(dy_1)/(dx_1 )

Вернемся обратно к x,y.