11.Уравнения высших порядков, допускающие понижение степени.

Три типа:

1.Уравнение вида

Пример

Y’’’=

Y’’

Y’=-

Y=

2.Допускается понижение степени

F(x,y’,y’’)=0; y’=p; y’’=

F(x,p,p’)=0 уравнение первого порядка относительно функции р. Предположим, что это уравнение можно решить p= ; y’=

Y=

Замечание, так же решается уравнение вида

F(x, =0

Пример:

(x-3) y’’+ y’=0

Y’=p ; y’’=

(x-3)

(x-3) dp + pdx =0

Lnp+ln(x-3) = ln

P= ; y’= ;

Y= ln(x-3) +

3. f(y,y’,y’’)=0 ; y’=p; y’’=

Y’=p; y’’= ; f(y,p, p= ;

Y’=

Пример:

; y’=p; y’’=

; ; lny=2lnp+ln

y ; p=

y’= ;

2 =

=

Y=

12. Линейные, дифференциальные уравнения высших порядков. Структура общего решения.

Линейным дифференциальным уравнением n-ого порядка называется уравнение вида

(1)

Q(x) – правая часть уравнения, по ней вычисляется производная

F(x) – коэффициенты уравнения

n – порядок производной

(2)

Если q(x)=0 линейной однородное уравнение n-ого порядка

Если q(x)≠0 нелинейное уравнение

Теорема 1.

Если является решением уравнение (2), а С некоторая константа, то также является решением уравнения (2)

Доказательство:

0=0

Теорема 2.

Если решения уравнения(2), то – так же решение уравнения (2)

Доказательство

0+0=0

Теорема 3.

Если функции - является решением уравнения(2), то y= , где произвольные постоянные, то такая фyнкция – решение уравнения (2). у₁, у₂, у_n – частные решения уравнения (2).

Определение:

Две функции и называются линейно независимыми на промежутке [a,b], если их отношение ≠const на [a,b], в противном случае, функции линейно зависимы. ( у₁=ßу₂, ß=const).

Определение:

Функции линейно независимы на промежутке (a,b) , если α , где =const, тогда и только тогда, когда все , если хотя бы один

Если - являются решением уравнения(2) на (a,b), и они линейно независимые, то общее решение(2) имеет вид y= - эта формула определяет структуру общего решения линейного однородного уравнения n-ого порядка и указывает способ построения общего решения.

Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения n-ого порядка, нужно найти n его частных решений, каждое из них умножить на постоянную и все эти произведения сложить. Если - функции, зависящие от х, то определитель

W(x)=

Определитель Вронского

Если функции линейно зависимы на (a,b) , то их Вронскиан = 0

Доказательство: у₂= α у₁, α =const. у₂’= α у₁’

Теорема:

Если W( – решения линейно однородного уравнения у’’+a₁y’+a₂y=0 не равен 0, то W≠0, при х₀ Є(a,b) , где коэффициенты уравнения непрерывны, то он не равен 0 ни при каких Х Є (a,b).

Определение:

Для того, чтобы функции были линейно независимыми в интервале (a,b) необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан был неравен нулю хотя бы в одной точке Х₀ этого интервала.

Таким образом, чтобы проверить линейную независимость надо составить их вронскиан и убедиться, что хотя бы при одном значении Х Є (a,b) он не равен нулю.

Уравнение (1) имеет n и только n независимых решений.

13. линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. рассмотрим ЛОУ второго порядка с постоянными коэффициентами y”+py’+qy=0, где p,q=const (1) Чтобы найти его общее решение достаточно как было показано в предыдущем пункте найти два линейно независимых частных решения. Будем их искать в виде y=e^(kx), где k=const (2). y’=k*e^(k*x), y”=k*k*e^(k*x) k*k*e^(kx)+p*k*e^(kx)+q*e^(kx)=0 e^(kx)(k*k+p*k+q)=0 k*k+pk+q=0 (3) если к будет удовлетворять уравнению (3)то e^(kx) будет являтся решением уравнения (1). Уравнение (3) называется характеристическим уравнением для уравнения (1) k1,2=-p/2+-sqrt(p*p/4-q) 1)к1не равно к2 действительные разные 2) к1=к2 действительные одинаковые 3) к1,2=a+-bi комплексные корни. 1 случай. корни действительные разные y1=e^(k1*x) ;y2=e^(k2*x) y1/y2=e^((k1-k2)x) не равно const два линейно независимых корня. y=c1e^(k1*x)+c2*e^(k2*x)

2 случай корни действительные одинаковые y1=e^(k1*x)

Нужно найти второе линейно независимое с первым решение y2=u(x)e^(k1*x) y2’=u’(x)e^(k1*x) + k1u(x)e^(k1x)=e^(k1x)(u’+k1u) y2”=k1e^(k1x)(u’+uk1)+e^(k1x)(u”+k1u’)=e^(k1x)(2k1u’+uk1k1+u”) e^(k1x)(u”+2k1u’+uk1k1+pu’+puk1+qu)=0 e^(k1x)(u”+(2k1+p)u’+(k1k1+k1p+q)u)=0 =0 =0 u”=0. Если u”=0 тогда u’=A, u=ax+b Пусть А=1 а В=0 u=x. y1=e^(k1x);y2=xe^(k1x) y2/y1=x неравно const Две функции линейно независимы y=e^(k1x)(c1+c2x)

3 случай y=e^(ax)(c1cosbx+c2sinbx)

14. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. y”+a1y’+a2y=f(x) (1) теорема: общее решение уравнения (1) есть сумма какого-нибудь его частного решения y* и общего решения y соответствующего ему однородного уравнения y”+a1y’+a2y=0 (2) y=y*+y(3)

Док-во: сначала докажем что (3) есть решение (1) (y+y*)”+a1(y+y*)’+a2(y+y*)=f(x)

(y”+a1y’+a2y) + (y*”+a1y*’+a2y*)=f(x)

=0 =f(x) докажем что (3) общее решение ур-я (1) то есть что входящие в него произвольные постоянные можно подобрать так чтобы они удовлетворяли начальным условиям y(x=x0)=y0, y’(x=x0)=y0’ (5) каковы бы небыли числа x0,y0,y0’, где a1,a2,f(x) непрерывны y=c1y1+c2y2, где у1 и у2 линейно независимые решения уравнения (2) а с1 и с2 const тогда (3) следует y=c1y1+c2y2+y* на основании (5) имеем

Y10,y20 – числа (6)

Получили определитель бронского т.к. у1 и у2 линейно независимые функции следовательно система (6) имеет единственное решение что и требовалось доказать Чтобы решить уравнение (1) нужно уметь находить любое его частное решение