Линейные уравнения первого порядка.
Линейным уравнением первого порядка является уравнение линейное относительно некоторой функции и её производных: y’ + p(x)y = q(x), где Здесь a(x) и b(x) — известные, непрерывные на [a;b] функции
Эти
уравнения решают с помощью подстановки 
,
где 
и
-
вспомогательные функции.
Общее решение линейного уравнения 1-го порядка можно найти с помощью замены y =u · v, отсюда y’=u’v + v’u.
Решение в общем виде:
u’v+v’u+p(x)uv=q(x)
u’v+u(v’+p(x)v)=q(x)
v’+p(x)v=0
Ln|v|=-
v=
u’v=q(x)
u’ = q(x)
u=
y=uv;
y=
Уравнение Бернулли.
Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид:
Если m = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когдаm = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными
Решение в общем виде:
Разделим все члены уравнения на
получим
Делая замену
и дифференцируя, получаем:
Это уравнение приводится к линейному:
и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.
9.Уравнение в полном дифференциале.
Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy
=0 (1) уравнение в полном дифференциале,
если M(x,y)
и N(x,y)
непрерывный дифференциал функции для
которой выполняется соотношение
(2) причём
непрерывные функции в некоторой области.
Докажем, что если левая часть уравнения
(1) есть полный дифференциал, то выполняется
условие и наоборот при выполнении
условия (2) левая часть уравнения (1) есть
полный дифференциал некоторой функции
U(x,y),
т.е. уравнение (1)
dU(x,y)=0 отсюда U(x,y)=c (3)
Пусть левая часть
уравнения (1) есть полный дифференциал
U(x,y),
M(x,y)dx+N(x,y)dy=
M(x,y)=
; N(x,y) =
(4)
;
, так как вторые производные непрерывны,
следовательно
=
Т.е условие (2) является необходимым условием для того чтобы левая часть уравнения (1) была полным дифференциалом U(x,y).
Достаточность. Пусть
условие (2) верно, покажем, что левая
часть (1) есть полный дифференциал U(x,y),
так как M(x,y)=
, то U=
, где
- абсцисса любой точки принадлежащей
области существования решения, т.к. мы
интегрируем по x, то y=const
следовательно постоянное интегрирование
есть
.
Подберём
так чтобы выполнялось 2ое из (4) для этого
надо продифференцировать по y
последнее равенство
=
, т.к. верно (2) , то
N(x,y)
+
=
N(x,y), N(x,y)-N(
,
y)+
=N(x,y)
= N(
,
y) ;
=
U(x,y)=
, где точка P(
это точка в окружении которой существует
решение уравнения(1) , приравниваем это
выражение к С, мы получим окончательное
решение
Пример
(2y-3)dx
+(2x+2
)dy=0;
M(x,y)=
2y-3 ; N(x,y)=
2x+2
=
(2=2) следовательно
Ответ: 2xy-3x+
=C
10. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия.
Диф. Уравнением n-ого
порядка называется уравнение вида
F(x,y,y’,y’’….
=0
,
или если его можно разрешить относительно
n-ой переменной.
Мы будем рассматривать только такие уравнения, которые можно разрешить относительно высшей производной, для таких уравнений справедлива теорема существования и единства аналогично подобной теоремы 1ого порядка.
Теорема. Если в уравнении
функция
и её частные производные по аргументам
непрерывна в некоторой области содержащее
значение x=
,
, то существует и при том единственное
решение y=y(x)
уравнения удовлетворяющее условиям
y
все четыре уравнение
это (2) начальные условия(P.S.
вертикальная черта после чего идёт
значит что y
от этих значений
y
y
Y’’=f(x,y,y’) – уравнение второго порядка
Y(
=
y
заданные числа
Геометрический смысл
начальных условий: через точку (
заданную угловым коэффициентом
проходит единственная кривая.
Общим решением диф.
уравнения n-ого порядка
называется функция y=
зависящей от n-ой произвольной
постоянной такой ,что
1.Она удовлетворяет
уравнению при любом значении постоянных
2. при заданном начальном условии (2) постоянные можно подобрать, так что y= будет удовлетворять этим условиям
Всякая функция получается
их общего решения при конкретных
значениях
называется частным решением, график
частного решения называется интегральной
кривой данного уравнения.
Решить уравнение значит:
1.найти общее решение
2.найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.