Программа курса высшей математики (математический анализ)

Введение в математический анализ.

1. Предмет, методы математического анализа и связь его с другими дисциплинами. Переменные и постоянные величины, множества. Операции над множествами. Символика в математическом анализе. Декартова и полярная системы координат. Множество вещественных чисел и его свойства. Отрезок, интервал, ограниченные множества.

Числовые последовательности.

2. Определение числовой последовательности. Действия над последовательностями. Предел последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Теорема о вложенных отрезках.

3. Теоремы о пределах числовых последовательностей. Классификация неопределенностей. Монотонные последовательности.

Функции одной переменной.

4. Определение функциональной зависимости. Область определения и значения функции. Элементарные функции. Суперпозиция функций.

Предел функции.

5. Определение предела функции. Замечательные пределы.

6. Теоремы теории пределов функций. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Непрерывность функций.

7. Определение непрерывности функции в точке. Операции над непрерывными функциями. Классификация точек разрыва функции. Суперпозиция непрерывных функций.

Свойства непрерывных функций.

8. Первая теорема Больцано – Коши. Вторая теорема Больцано – Коши. Теорема об обратной функции. Понятие о равномерной непрерывности.

Производная и дифференциал.

9. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Односторонние и бесконечные пределы.

10. Определение дифференциала. Связь между дифференцируемостью и существованием производной. Инвариантность формы дифференциала. Приближённые вычисления. Теоремы дифференциального исчисления.

11. Теорема Ферма, Ролля. Формулы Коши, Лагранжа. Производные высших порядков. Параметрическое дифференцирование.

Формула Тейлора. Правило Лопиталя.

12. Формула Тейлора для многочлена. Разложение произвольной функции. Дополнительный член в форме Пеано и Лагранжа.

13. Доказательство правила Лопиталя. Раскрытие неопределённостей , . Другие виды неопределённостей и их раскрытие.

Исследование функций.

14. Условие постоянства и монотонности функций. Экстремумы, необходимые и достаточные условия. Использование высших производных. Выпуклость и вогнутость функции.

Неопределённый интеграл

15. Понятие о первообразной функции. Таблица основных интегралов. Простейшие правила интегрирования. Интегрирование по частям и замена переменной. Интегрирование тригонометрических и показательных функций.

16. Подстановки Эйлера. Интегрирование биноминальных дифференциалов. Вывод рекуррентных соотношений. Разложение правильных дробей на простые дроби.

Определённый интеграл.

17. Определение и условия существования определённого интеграла. Сумма Дарбу. Нижний и верхний интегралы как пределы. Основная формула интегрального исчисления. Формулы замены переменной в определённом интеграле. Приложение интегрального исчисления.

18. Вычисление длины кривой. Вычисление площадей и объёмов. Примеры.

Функции нескольких переменных.

19. Физические задачи, приводящие к функции нескольких переменных. Понятие - мерного пространства. Множество точек - мерного пространства. Функция нескольких переменных. Предел. Поверхность уровня.

20. Повторные пределы. Непрерывность функции переменных. Частные производные. Частный дифференциал. Полное приращение функции.

21. Полный дифференциал. Производная сложной функции. Полный дифференциал сложной функции. Производные и дифференциал высших порядков. Формула Тейлора.

22. Понятие экстремума функции, необходимое условие, минимаксы, абсолютный экстремум. Метод наименьших квадратов.

23. Неявные функции, якобианы. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа.

Теория рядов.

24. Числовые ряды, сходимость и сумма ряда. Критерий Коши. Признаки Даламбера и Коши, интегральный признак. Знакопеременные ряды, признак Лейбница. Функциональные последовательности и ряды.

25. Степенные ряды. Теорема Абеля, круг сходимости. Ряд Тейлора. Уравнение Бесселя, функции Бесселя.

26. Ряд Фурье, ортогональная система функций. Разложение по полной ортонормированной системе. Сходимость тригонометрического ряда.

Интегралы, зависящие от параметров.

27. Интегралы, зависящие от параметров, непрерывность. Дифференцирование и интегрирование по параметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Гамма - и бета - функции. Интеграл Фурье.

Кратные интегралы.

28. Задачи, приводящие к двойным интегралам. Двойной интеграл как предел суммы, основные свойства. Вычисление в декартовых и полярных координатах. Тройной интеграл, его свойства.

29. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Криволинейный интеграл первого и второго рода. Формула Грина. Теорема Остроградского, формула Стокса.

Векторный анализ.

30. Скалярные и векторные поля, векторные линии. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция, её инвариантное определение и физический смысл. Понятие о тензорных обозначениях.

31. Векторная формулировка теоремы Остроградского. Соленоидальное поле. Линейный интеграл в векторном поле, работа силового поля, циркуляция векторного поля, ротор векторного поля. Векторная формулировка теоремы Стокса. Потенциальное поле. Оператор Гамильтона. Операции в векторном анализе.