Метод неопределенных коэффициентов
ЛИТЕРАТУРА: [6] п. 24.3 – 24.4
Метод
неопределенных коэффициентов используется
для вычисления интегралов от рациональных
дробей вида
многочлены степени m
и n
соответственно.
Рассмотрим основные этапы нахождения интегралов данным методом.
1).
Если дробь
неправильная, т.е. m
> n,
то необходимо выделить целую часть,
представив
в виде
где
- многочлены и степень многочлена
меньше n.
2).
Раскладываем знаменатель
на множители:
где
являются
корнями многочлена
кратности
соответственно, а квадратные трехчлены
не раскладываются на множители.
3).
Дробь
записывается как сумма элементарных
дробей:
где
коэффициенты
не
определены.
Пример
1.
Найти
Решение.
Так как степени многочленов
равны, выделим целую часть:
Получим:
- целая часть,
- числитель дробной части. Т.е.
Разложим
знаменатель
на множители:
тогда
Приравниваем числители левой и правой дробей:
Пусть
Подставляя найденные значения в разложение на элементарные дроби, получим:
Пример
2.
Найти
Решение. Выделяем целую часть:
Следовательно:
так
как корень x=0
кратности 2, то получим следующее
разложение на сумму дробей:
и
получаем систему для нахождения
Задачи:
Найти интегралы:
1).
|
2).
|
3).
|
4).
|
5).
|
6).
|
7).
|
8).
|
9). |
10). |
Интегрирование некоторых иррациональных функций
ЛИТЕРАТУРА: [6] п. 25.3 – 25.5
1). Интегралы вида
где
- рациональная функция своих аргументов;
-
целые числа, вычисляются с помощью
подстановки
где s
– наименьший общий знаменатель дробей
В
частности, для вычисления
применяется подстановка
где s
– наименьший общий знаменатель дробей
Пример
1.
Найти
.
Решение.
Делаем подстановку
тогда
Пример
2.
Найти интеграл
Решение.
Делаем
подстановку
тогда
.
Методом неопределенных коэффициентов получаем
2).
Интеграл от дифференциального бинома
где m,
n,
p
- рациональные
числа, может быть приведен к интегралу
от рациональных функций лишь в следующих
трех случаях (теорема Чебышева):
а)
p
– целое число. Полагаем
где N
– общий знаменатель дробей m
и n.
б)
целое.
Полагаем
где N
– знаменатель дроби p.
в)
целое.
Применяем подстановку
где N
– знаменатель дроби p.
Если n = 1, то эти случаи эквивалентны следующим:
1) p – целое;
2) m – целое;
3) (m + p) – целое.
Пример
3. Найти
интеграл
Решение.
В нашем случае
Так как p
– целое (случай а), то полагаем
тогда
и интеграл примет вид:
Для дальнейшего нахождения интеграла используем метод неопределенных коэффициентов
т.е.
Пусть
Тогда
Подставляя
получим окончательный ответ:
3).
Для интегралов вида
можно использовать подстановки Эйлера:
1).
Если a
> 0, то
2).
Если с
> 0, то
3).Если
и
- действительные корни трехчлена
то
Пример
4. Найти
интеграл
Решение. В нашем случае а = 1 > 0, используем подстановку :
тогда интеграл
Для дальнейшего решения используем метод неопределенных коэффициентов.