Задачи:
Найти интегралы:
1). |
2). |
3). |
4). |
5). |
6). |
7).
|
8).
|
9).
|
10).
|
11).
|
12).
|
13).
|
14).
|
15).
|
16).
|
17).
|
18).
|
19).
|
20).
|
21).
|
22).
|
23).
|
24).
|
25).
|
26).
|
27).
|
28). |
29).
|
|
Интегрирование по частям
ЛИТЕРАТУРА: [5],ч.1, гл.6,§ 2,п.2; [6] п. 22.5
Формула интегрирования по частям имеет вид:
или
Рассмотрим основные случаи использования метода интегрирования по частям.
1). При вычислении интегралов вида:
где
многочлен,
полагаем
dx
единицу меньше степени многочлена
.
Причем формулу интегрирования по частям
используем столько раз, какова степень
многочлена
Пример
1.
Найти
Решение.
Положим
используя формулу интегрирования по
частям получаем:
2). При вычислении интегралов вида:
где
многочлен,
полагаем
а оставшийся сомножитель в подынтегральной
функции - U.
Пример
2.
Найти
Решение.
Положим
и
получаем:
3). Если вычисляются интегралы вида:
то
и формулу интегрирования по частям
применяем дважды.
Пример3.
Найти
Решение.
Положим
и получаем:
Заметим, что в последнем выражении получен исходный интеграл, т.е.
Решаем полученное уравнение относительно интеграла:
Задачи:
Найти интегралы:
1).
|
2). |
3).
|
4).
|
5).
|
6).
|
7).
|
8).
|
9).
|
10).
|
11).
|
12).
|
13).
|
14). |
15). |
16). |
17). |
18). |
19). |
20). |
Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
ЛИТЕРАТУРА: [6] п. 24.1-24.2
При нахождении интегралов, содержащих квадратный трехчлен, необходимо выделить полный квадрат в квадратном трехчлене, а затем использовать описанные выше методы интегрирования.
Пример
1. Найти
Решение. Выделим полный квадрат:
Пример
2. Найти
Решение. Выделим полный квадрат:
Имеем
Интегралы
вида
решаются с помощью подстановки
и, после преобразований, приводятся к
интегралам от квадратного трехчлена.
Пример
3.
Найти
Решение.
Делаем замену переменной
,
тогда
.
Задачи:
Найти интегралы:
1).
|
2).
|
3).
|
4). |
5).
|
6).
|
7).
|
8).
|
9).
|
10).
|
11).
|
12).
|
