Задачи:

Найти интегралы:

1).	2).
3).	4).
5).	6).
7).	8).
9).	10).

Интегралы от тригонометрических функций

ЛИТЕРАТУРА: [6] п. 26.1 – 26.3

В интегралах вида:

где m, n – целые числа, используются следующие формулы и приемы:

1). Если т.е. нечетное положительное число, то

Аналогично решаются примеры, где n – нечетное положительное число.

2). Если m, n – четные положительные числа, то используют формулы:

3). Если целые отрицательные числа одинаковой четности, то

.

4). Интегралы вида приводятся к интегралам от по формулам:

.

5). Интегралы вида , , вычисляются с использованием следующих формул

6). Интегралы вида где R – рациональная функция, вычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки . Тогда

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Так как m = 3 - нечетное положительное число, то применяя выражения получим интеграл:

Пример 2. Найти интеграл

Решение. Так как m = 3, n = 3 – целые отрицательные числа, то

и интеграл примет вид

Пример 3. Найти интеграл

Решение. Выполним преобразования:

тогда интеграл равен:

Пример 4. Найти интеграл

Решение. Делаем подстановку Тогда

Задачи:

Найти интегралы:

1).	2).
3).	4).
5).	6).
7).	8).
9).	10).
11).	12).
13).	14).
15).	16).

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

ЛИТЕРАТУРА: [5], ч.1, гл.10,§ 7, п.2; [6] п. 27.1, 27.4, 28.1, 29.3.

Геометрически определенный интеграл представляет собой алгебраическую сумму площадей плоских фигур, составляющих криволинейную трапецию, в которой площади частей, расположенных выше оси ОХ, берутся со знаком плюс, а площади частей, расположенных ниже оси ОХ, - со знаком минус.

Если то справедлива формула Ньютона-Лейбница:

Первообразная вычисляется путем нахождения неопределенного интеграла

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение.

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Так как то интеграл

Задачи:

Найти интегралы:

1).	2).
3).	4).
5).	6).
7).	8).
9).	10).