Тема 2. Сложные проценты
Пример 6
Первоначальная сумма долга равна 50000000 руб. Определить наращенную сумму через 2,5 года, если используется ставка сложных процентов 25% годовых.
Решение:
Используя формулу (1) (см. Приложение «Формулы наращения и дисконтирования по сложным процентам») имеем:
S (T) = 50000000 (1 + 0,25)2,5 = 87346390 (руб.)
Смешанный метод расчетов дает другой результат:
S (T) = 50000000 (1 + 0,25)2 (1 + 0,25 × 0,5) = 87890625 (руб.).
Различие в полученных результатах объясняется использованием схемы начисления по простым процентам за период, меньший, чем год. Напомним, что начисление простых процентов за срок, меньший года, дает большую сумму начисленных процентов, чем начисление сложных процентов.
Пример 7
10 млн. руб. инвестированы на два года по ставке 120% годовых. Требуется найти наращенную сумму за два года, если начисление процентов производится: а) ежегодно; б) по полугодиям; в) ежеквартально; г) ежемесячно.
В данном примере используется номинальная ставка сложных процентов, поэтому воспользуемся формулой (2) (см. Приложение «Формулы наращения и дисконтирования по сложным процентам»).
Решение:
а) m = 1 S (T) = 10000000 (1 + 1,2)2 = 48400000 (руб.)
б) m
= 2 S
(T)
= 10000000 (1 +
)4
= 65536000 (руб.)
в) m
= 4 S
(T)
= 10000000 (1 +
)8
= 81573072 (руб.)
г) m
= 12 S
(T)
= 10000000 (1 +
)24
= 98497307 (руб.)
Пример 7 иллюстрирует тот факт, что начисление процентов по номинальной ставке идет с ускорением, т.е. чем чаще начисляются проценты, тем больше наращенная сумма.
Пример 8
Банк начисляет проценты на вклады по номинальной ставке сложных процентов 12% годовых. Определить доходность вкладов по эффективной ставке процентов при начислении: а) по полугодиям; б) ежеквартально;
в) ежемесячно.
В данном примере необходимо рассчитать годовую эффективную процентную ставку. Можно воспользоваться готовыми формулами, или вывести формулу годовой эффективной процентной ставки из равенства множителей наращения (Формулы (1), (2), Приложение«Формулы наращения и дисконтирования по сложным процентам»).
Решение:
а) iэф.
= (1 +
)2
– 1 = 0,1236 iэф.
= 12,4%
б) iэф.
= (1 +
)4
– 1 = 0,1255 iэф.
= 12,6%
в) iэф.
= (1 +
)12
– 1 = 0,1268 iэф.
= 12,7%
Пример 9
Определить наращенную на 10000 руб. сумму за 6 лет при использовании:
а) ставки простых процентов 10% годовых;
б) ставки сложных процентов 10% годовых;
в) простой учетной ставки 10% годовых;
г) сложной учетной ставки 10% годовых.
В примере 9 сравнивается начисление декурсивных процентов (а, б) и антисипативных процентов (в, г). Соответствующие формулы приведены в Приложении для начисления простых и сложных процентов.
Решение:
а) S (T) = 10000 (1 + 0,1 × 6) = 16000 (руб.); I (T) = 6000 (руб.)
б) S (T) = 10000 (1 + 0,1)6 = 17716 (руб.); I (T) = 7716 (руб.)
в) S
(T) =
= 25000
(руб.); I
(T)
= 15000 (руб.)
г) S
(T) =
= 18816
(руб.); I
(T)
= 8816 (руб.)
Как видно из примера наибольший рост капитала будет при начислении процентов по простой учетной ставке (на практике она не применяется на длительных, больше года, периодах начисления).
Пример 10
Банк использует при выдаче кредитов ставку 12% годовых. Определите значение учетной ставки, обеспечивающей равную доходность при учете векселя, до срока погашения которого осталось 50 дней, если расчетное количество дней в году при начислении процентов по кредитам равно 365, а при учете векселей – 360.
Для решения задач по данной теме необходимо использовать готовые формулы эквивалентности. Также можно вывести формулы самостоятельно из равенства множителей наращения (см. Приложение «Формулы наращения и дисконтирования по простым процентам», «Формулы наращения и дисконтирования по сложным процентам»).
Решение: