Понятие об автоколебаниях
Одной из основных особенностей нелинейных систем, является режим автоколебаний. Автоколебания - это устойчивые собственные колебания, возникающие за счет непериодического источника энергии и определяемые свойствами системы. Этот режим принципиально отличается от колебаний линейной системы на границе устойчивости. В линейной системе при малейшем уменьшении ее параметров колебательный процесс становится либо затухающим, либо расходящимся. Автоколебания же являются устойчивым режимом: малые изменения параметров системы не выводят ее из этого режима. Амплитуда автоколебаний не зависит от начальных условий и уровня внешних воздействий.
Автоколебания в нелинейных системах в общем случае нежелательны, а иногда и недопустимы. Однако, в некоторых нелинейных системах автоколебания являются основным рабочим режимом. Примерами автоколебательных систем являются часы, электрический звонок, всевозможные генераторы; при определенных условиях автоколебания возникают и в химических реакторах.
Для большинства реальных систем определение автоколебаний является сложной проблемой, являясь в то же время одной из задач исследования нелинейных систем.
При изучении режима автоколебаний необходимо ответить на вопросы, связанные с условиями их возникновения, числом, параметрами автоколебаний и их устойчивостью.
Как известно, на фазовой плоскости автоколебательному режиму соответствует изолированная замкнутая фазовая траектория - предельный цикл. В связи с этим проследить условия возникновения автоколебаний можно на примере возникновения предельного цикла. Существует два режима возникновения автоколебаний, которые называются режимами мягкого и жесткого возбуждения.
Характер возникновения автоколебаний и изменение фазового портрета удобно проследить на примере системы второго порядка.
Пусть при некотором значении какого-либо параметра а системы ее фазовый портрет имеет вид, представленный на рис. 10.2.15, а. Система устойчива, все фазовые траектории ведут к состоянию равновесия, которым в данном случае является начало координат.
Параметр a можно изменять. Изменяя непрерывно этот параметр систему можно сделать неустойчивой. Допустим, что при значении параметра a=а1 образуется устойчивый предельный цикл бесконечно малых размеров (рис. 10.2.15, б). При дальнейшем изменении этого
Рисунок 10.2.15 - Режим мягкого возбуждения возникновения автоколебаний: а - устойчивое состояние системы; б - образование предельного цикла бесконечно малых размеров; в - распухание предельного цикла
параметра предельный цикл будет распухать (рис. 10.2.15, в), его наличие на фазовой плоскости говорит о возникновении в системе автоколебаний. Подобный режим возникновения автоколебаний называется режимом мягкого возбуждения.
При режиме мягкого возбуждения образуется устойчивый предельный цикл, но состояние равновесия становится неустойчивым. При этом режиме иногда бывает неопасно выходить за пределы области устойчивости, если при этом предельный цикл оказывается достаточно малым. Образующиеся автоколебания имеют малые размеры и находятся в пределах допустимой погрешности, что может оказаться вполне приемлемым для системы регулирования и не несет нежелательных явлений. Иногда же эти автоколебания могут быть даже полезными, так как уничтожают застой в зоне нечувствительности, образованный, например, сухим трением.
Другой характер возникновения автоколебаний в нелинейных системах заключается в следующем. Также как и в предыдущем случае рассматривается фазовый портрет устойчивой системы (рис. 10.2.16, а).
Пусть изменяется какой-либо параметр a нелинейной системы, и при некотором его значении a = a1 образуются как бы "слипшиеся" друг с другом два предельных цикла конечных размеров, а не бесконечно малых (рис. 10.2.16, б). Один из этих предельных циклов является устойчивым, а другой - неустойчивым. При дальнейшем увеличении параметра a неустойчивый предельный цикл "съеживается", уменьшаясь по размерам, а устойчивый "распухает", увеличиваясь в размерах (рис. 10.2.16, в). Наконец, при некотором значении параметра a =a2 неустойчивый предельный цикл "съеживается" до минимума и сливается с точкой равновесия (рис. 10.2.16, г).
В результате остается лишь один предельный цикл, причем устойчивый. Неустойчивый предельный цикл, слипшись с точкой равновесия, как бы заражает ее своей неустойчивостью, и она становится неустойчивой.
Рисунок 10.2.16 - Режим жесткого возбуждения:
а - устойчивое состояние системы; б - образование двух слипшихся предельных циклов; в – изменение размеров предельных циклов; г - устойчивый предельный цикл
Подобный режим возникновения автоколебаний, при котором сразу же возникает предельный цикл конечных размеров, называется режимом жесткого возбуждения. При режиме жесткого возбуждения может оказаться опасным сколь угодно малый выход системы за пределы области устойчивости. Значения параметров а1 и а2 при которых качественно изменяется картина фазового портрета называются бифуркационными.
Для определения автоколебаний и их исследования разработаны специальные методы и критерии.