Процедура проверки абсолютной устойчивости

Процедура проверки абсолютной устойчивости включает следующие этапы:

Оценивается диапазон изменения однозначной статической нелинейной характеристики комбинированной системы, определяется значение коэффициента .

Проверяется устойчивость линейной части системы, записывается выражение для ее амплитудно-фазовой характеристики .

Определяется выражение для видоизмененной амплитудно-фазовой характеристики согласно соотношениям

На комплексной плоскости строится видоизмененная амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы и выделяется характерная точка с координатами .

Исследуется возможность построения прямой, проходящей через эту точку, правее которой должна располагаться . Делается вывод об абсолютной устойчивости нелинейной системы.

10.5 МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ ТИПОВЫХ НЕЛИНЕЙНОСТИ. УРАВНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ АВТОКОЛЕБАНИЙ. МЕТОД ГОЛЬДФАРБА. ВИБРАЦИОННАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

Основные сведения

Одним из характерных режимов работы нелинейной системы является автоколебательный режим, когда при отсутствии входного сигнала в системе возникают незатухающие периодические процессы, обусловленные начальными условиями. Подобный режим работы может быть требуемым (например, в различных генераторах колебаний) или же к нему сходятся процессы системы.

Одна из задач анализа переходных процессов заключается в исследовании возможности возникновения автоколебаний и определении их параметров (амплитуды и частоты). Для этих целей был разработан регулярный метод, который в русскоязычной литературе получил название метода гармонического баланса [1, 9]. Этот метод применяется для анализа систем с одним нелинейным элементом, причем для простоты будем полагать, что входное воздействие отсутствует , а все линейные звенья объединены в одно с передаточной функцией . Структурная схема рассматриваемых систем изображена на рис. 9.3.

Метод гармонического баланса пригоден для исследования автоколебательных систем практически любого порядка, но требует обеспечения условий хорошей фильтрации возникающих на выходе нелинейного звена гармонических составляющих сигнала (выше первой гармоники).

В основе расчетных соотношений метода гармонического баланса лежит способ гармонической линеаризации нелинейного элемента [1, 7], который мы далее и рассмотрим.

Метод гармонической линеаризации

Под линеаризацией понимают приближенную замену нелинейной функции линейной таким образом, чтобы по какому-то выбранному показателю обе эти функции совпадали.

В способе гармонической линеаризации нелинейный элемент (рис. 10.5.1) заменяется квазилинейным звеном, параметры которого определяются при синусоидальном входном сигнале

(10.5.1)

из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена.

Рассмотрим процедуру линеаризации для нелинейного элемента, уравнение которого имеет вид

. (10.5.2)

При поступлении на его вход гармонического сигнала (10.5.1) на выходе звена в установившемся режиме также будет периодический, но несинусоидальный сигнал

. (10.5.3)

Разложим его в ряд Фурье [11] и получим

, (10.5.4)

где будем полагать , что справедливо для симметричной нелинейной характеристики (10.5.2).

С учетом (10.5.3) коэффициенты ряда Фурье (10.5.4) определяются известными соотношениями

Используем только первые члены ряда разложения в (10.5.4), пренебрегая высшими гармониками, и получим

. (10.5.5)

Учтем, что , а , следовательно,

(10.5.6)

После подстановки (10.5.6) в (10.5.5) получим выражение для выходного сигнала нелинейного звена

,

которое, если принять обозначения

(10.5.7)

можно записать в виде

. (10.5.8)

Здесь и – коэффициенты гармонической линеаризации.

Как видим, уравнение нелинейного звена (10.5.8) с точностью до высших гармоник является квазилинейным. При постоянных значениях амплитуды входного сигнала коэффициенты гармонической линеаризации и являются постоянными. Однако различным значениям амплитуды соответствуют разные коэффициенты и . В этом заключается отличие гармонической линеаризации от обычной (см. разд. 8).

Таким образом, вместо нелинейного элемента с характеристикой (10.5.2) можно рассматривать эквивалентное линейное звено, поведение которого описывается уравнением (9.12). Оно может быть представлено в операторной форме

. (10.5.9)

Для гармонически линеаризованного нелинейного элемента можно записать передаточную функцию

(10.5.10)

и получить из нее выражение для частотной характеристики

. (10.5.11)

В случае статической нелинейной характеристики вместо (10.5.2) имеем

и уравнение (10.5.9) принимает вид [1]

, (10.5.12)

где коэффициенты гармонической линеаризации и зависят только от амплитуды. При этом получим передаточную функцию

(10.5.13)

и частотную характеристику

(10.5.14)

статического нелинейного звена.

Для однозначной статической нелинейной характеристики коэффициент , и вместо (10.5.11) получим

. (10.5.15)

Пример 10.5.1

Определить эквивалентную передаточную функцию нелинейного звена, которое представляет собой идеальное реле (рис. 10.5.2).

Поскольку идеальное реле имеет однозначную статическую характеристику, выражение для его передаточной функции (10.5.12) имеет вид

,

где коэффициент определяется как

Далее, учитывая полученные выражения для передаточных функций гармонически линеаризованных нелинейных элементов (10.5.10), (10.5.13), рассмотрим соотношения метода гармонического баланса.