- •Глава 14. Двойной интеграл
- •Глава 15. Криволинейный интеграл
- •Глава 16. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Глава 17. Дифференциальные уравнения в частных производных
- •Глава 18. Ряды
- •Глава 19. Гармонический анализ
- •Глава 20. Теория поля
- •Глава 21. Теория функции комплексного переменного
- •Глава 22. Интерполирование
- •Глава 23. Численные методы
- •Глава 24. Дискретная математика
- •Глава 25. Теория вероятностей
Глава 17. Дифференциальные уравнения в частных производных
Если в дифференциальных уравнениях независимых производных две или больше, то дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. |
§1 Дифференциальное уравнение первого порядка , (1) где , и - функции , и . |
1. Решение дифференциального уравнения первого порядка в частных производных. |
Предварительно решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений . Пусть решение этой системы определяется равенствами , . Тогда общий интеграл дифференциального уравнения (1) имеет вид , где - произвольная непрерывно-дифференцируемая функция. |
§2 Дифференциальное уравнение второго порядка , (2) где - функции и . |
1. Типы дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных |
Если , то уравнение (2) принадлежит гиперболическому типу. каноническое уравнение гиперболического типа. Если , то уравнение (2) принадлежит параболическому типу. каноническое уравнение параболического типа. Если , то уравнение (2) принадлежит эллиптическому типу. называется каноническое уравнение эллиптического типа. |
Задача. Общее решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка имеет вид следующей непрерывно дифференцируемой функции… Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Запишем систему уравнений: . Решая , получаем , решая , получаем . Общий интеграл имеет вид: , откуда Ответ. №2. |
Глава 18. Ряды
§1 Общие сведения |
1. Ряд. Общий член ряда
Выражение вида , где - члены некоторой бесконечной последовательности, называется рядом, называется общим членом ряда. Сумма называется частичной суммой ряда |
2. Сходимость ряда. Сумма ряда
Ряд называется сходящимся, если , при этом число называется суммой ряда. Ряд называется расходящимся, если не существует или бесконечен. |
Задача. Частичная сумма первых пяти членов числового ряда 11; 13; 15; … , равна … . Варианты ответов: 1) 75 2) 19 3) 47,5 4) 80 Решение. . Ответ. №1.
Задача. Общий член последовательности имеет вид… Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Из предложенных ответов не подходят №2 (так как при получаем отрицательное число ), и №3 (так как нет чередования знаков). В формулы №1 и №4 подставляем натуральные значения n. Если , то , не подходит. Если , то , , , , … подходит. Ответ. №4.
Задача. Второй член числового ряда равен… Решение. . Ответ. 16. |
§2 Числовые ряды |
|||
3. Гармонический ряд
4. Обобщенный гармонический ряд
5. Ряд геометрической прогрессии |
Ряд называется гармоническим рядом. Он расходится.
Ряд называется обобщенным гармоническим рядом. Ряд
Ряд , называется рядом геометрической прогрессии. Этот ряд при 1) сходится, его сумма равна 2) расходится
|
Задача. Укажите сходящиеся числовые ряды. Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. ; ; . Все ряды являются обобщенными гармоническими рядами, т.е. рядами вида . При - ряд расходится, поэтому ответ №3. Ответ. №3.
Задача. Сумма числового ряда равна… Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Ряд - ряд геометрической прогрессии. , , , . Ответ. №2. |
|
6. Необходимое условие сходимости ряда (не является достаточным) |
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .
|
Задача. Из данных рядов выбрать те, для которых не выполняется необходимое условие сходимости ряда 1) 2) 3) 4) Решение. 1) , выполняется. 2) , не выполняется. 3) , выполняется. 4) , выполняется. Ответ. №2. |
|
§3 Знакоположительные ряды. , |
|||
7. Достаточные признаки сходимости ряда 7.1. Признак Даламбера
7.2. Радикальный признак Коши
7.3. Интегральный признак Коши
7.4. Признаки сравнения |
Если в ряде с положительными членами выполняется условие , то 1) при , данный ряд сходится 2) при , данный ряд расходится
Если в ряде с положительными членами , то 1) при , данный ряд сходится 2) при , данный ряд расходится
Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции так, что , , … , , … , то: 1) и ряд сходятся или расходятся одновременно
I. Пусть даны два знакоположительных ряда и Если для всех n выполняется неравенство , то а) из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами ; б) из расходимости ряда с меньшими членами , следует расходимость ряда с большими членами . II. Пусть даны два знакоположительных ряда и . Если существует конечный, отличный от 0, предел , то ряды и сходятся или расходятся одновременно. |
Задача. Из рядов а) б) в) сходятся… Варианты ответов: 1) только а 2) только с 3) только в и с 4) ни один не сходится 5) только в Решение. а) , . , не выполняется необходимое условие сходимости, ряд расходится. б) , , . Исследуем по признаку Даламбера.
, ряд расходится. в) , . Исследуем по признаку сравнения. Сравним с рядом , . Он сходится, как обобщенный гармонический ряд. . Значит, ряды и одновременно сходятся. Ответ. №2. |
|
§4 Знакочередующиеся ряды , |
|||
8. Достаточный признак сходимости (признак Лейбница)
|
Знакочередующийся ряд сходится, если: 1) последовательность абсолютных величин ряда монотонно убывает, т.е. ; 2) общий член ряда стремится к нулю: . При этом сумма ряда удовлетворяет неравенствам .
|
Задача. Установите соответствие между видами сходимости и знакочередующимися рядами. 1. абсолютно сходится А) 2. условно сходится В) 3. расходится С) Решение. А) , . , ряд расходится.
|
|
9. Абсолютно сходящийся ряд
10. Условно сходящийся ряд |
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. |
В) , . а) ряд сходится по признаку Лейбница.
б) ряд из модулей . Сравним с рядом , он расходится. , Ряд с меньшими членами расходится, значит, ряд с большими членами расходится. Из п. а) и б) следует, что ряд - сходится условно.
С) Ряд из модулей сходится как ряд геометрической прогрессии, значит, ряд сходится абсолютно. Ответ. , , |
|
§5 Функциональные ряды |
|||
11. Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным.
|
|||
12. Область сходимости |
Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости. |
||
13. Степенные ряды |
Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, называется степенным рядом.
|
14. Радиус сходимости степенного ряда.
15. Интервал сходимости степенного ряда |
Радиус сходимости вычисляется по формулам:
Для ряда :
Для ряда :
|
Задача. Радиус сходимости степенного ряда равен 10, тогда интервал сходимости имеет вид… Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Так как , то , , . Ответ. №1. |
§6 Ряды Тейлора и Маклорена |
||
16. Разложение функции в ряд Тейлора |
||
Если функция бесконечно дифференцируема в окрестности точки и , то
|
Задача. Если , то коэффициент разложения данной функции по степеням равен… Варианты ответов: 1) 3 2) 0 3) 1 4) 0,25 Решение. В разложении функции в ряд Тейлора . В нашем случае: , , , , , . Ответ. №2.
|
|
17. Разложение функции в ряд Маклорена |
||
Если функция бесконечно дифференцируема в окрестности точки и , то
|
||
18. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена) |
||
, , ,
, , ,
, , , , |
Задача. Дана функция , тогда первые три (отличные от нуля) члена разложения этой функции в ряд Тейлора в окрестности точки имеют вид… Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Так как , то
Ответ. №4. |