- •Глава 14. Двойной интеграл
- •Глава 15. Криволинейный интеграл
- •Глава 16. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Глава 17. Дифференциальные уравнения в частных производных
- •Глава 18. Ряды
- •Глава 19. Гармонический анализ
- •Глава 20. Теория поля
- •Глава 21. Теория функции комплексного переменного
- •Глава 22. Интерполирование
- •Глава 23. Численные методы
- •Глава 24. Дискретная математика
- •Глава 25. Теория вероятностей
Глава 20. Теория поля
§1 Скалярное поле |
||
1. Скалярное поле |
Если каждой точке М области некоторого пространства соответствует определенное число , говорят, что в области определено скалярное поле.
|
Задача. Скалярным полем является… Варианты ответов: 1) поле скоростей 2) поле силы тяжести 3) поле плотности воздуха 4) магнитное поле Решение. Скалярной функцией среди заданных является плотность воздуха, поэтому поле плотности воздуха является скалярным. Ответ. №3. |
2. Линии уровня |
Линия уровня скалярного поля – это линия на плоскости Oxy, в точках которой функция сохраняет постоянное значение. , .
|
Задача. Построить линии уровня функции . Решение. Для того чтобы найти линии уровня данной функции, пересечем поверхность плоскостью . Получаем . Задавая с различные значения, например, получим семейство линий уровней, представляющих собой окружность. При окружность вырождается в точку .
|
3. Поверхности уровня |
Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек в пространстве, в которых функция принимает постоянное значение. |
, |
4. Градиент скалярного поля
Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции в точке называют градиентом функции. Градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшая скорость изменения функции в т. М равна .
|
||
Задача. Градиентом скалярного поля в точке является вектор… Решение. ; подставим координаты точки : . Ответ. .
Задача. Направление наискорейшего возрастания скалярного поля в точке совпадает с направлением вектора … Решение. Направление наискорейшего возрастания скалярного поля показывает градиент: . Подставим координаты точки : . Ответ.
Задача. Укажите рисунок, на котором изображен градиент функции , вычисленный в точке . Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. . В точке . Вектор изображен на рис. 4). Ответ. №4. |
||
6. Производная скалярного поля по направлению Производной от функции в точке по направлению вектора называется предел . Производная по направлению характеризует скорость изменения поля в точке М по этому направлению. Если , то функция возрастает в направлении , если , то функция в направлении убывает. - мгновенная скорость изменения функции в направлении в точке . . Если , то , , |
||
Задача. Производная скалярного поля в точке в направлении единичного вектора равна… Варианты ответов: 1) 11 2) 5 3) 6 4) 1 Решение. . ; в т. М , ; в т. М . ; . Тогда Ответ. №3. |
§2 Векторное поле |
||
1. Векторное поле
|
Если каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор , то говорят, что задано векторное поле.
|
Задача. Векторным полем является… Варианты ответов: 1) поле атмосферного давления 2) поле силы тяжести 3) поле плотности воздуха 4) поле температур Решение. Векторной функцией среди заданных является сила тяжести, поэтому поле силы тяжести является векторным. Ответ. №2. |
2. Дивергенция (расходимость) векторного поля
|
Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля в точке М называется скаляр вида .
|
Задача. Дивергенция векторного поля равна Варианты ответов: 1) 5 2) 6 3) 7 4) 0 Решение.
Ответ. №2. |
3. Ротор (вихрь) векторного поля |
Ротором (или вихрем) векторного поля называется вектор, определяемый формулой . |
|
4. Поток векторного поля |
Потоком вектора через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности. |
|
5. Циркуляция |
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора на вектор , касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора вдоль L. |
|
6. Формула Остроградского – Гаусса |
Поток векторного поля через замкнутую поверхность (в направлении внешней нормали, т.е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля, взятому по объему V, ограниченному данной поверхностью. |
,
|
7. Формула Стокса |
Циркуляция векторного поля по замкнутому кругу L равна потоку его ротора через любую кусочно-гладкую поверхность , лежащую в поле вектора и ограниченную контуром L. |
|
8. Соленоидальное векторное поле |
Векторное поле называется соленоидальным, если во всех его точках дивергенция равна нулю. |
|
9. Потенциальное (безвихревое) векторное поле |
Векторное поле называется потенциальным (бехвихревым), если во всех точках поля ротор равен нулю. |
|
10. Гармоническое векторное поле |
Векторное поле называется гармоническим, если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным. |
и |