Глава 19. Гармонический анализ

1. Четная функция	Функция , определенная на множестве , называется четной, если для любого значения из выполняются условия и . График четной функции симметричен относительно .		Задача. Укажите график четной функции. Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. График четной функции симметричен относительно оси , поэтому рис. №2. Ответ. №2.
2. Нечетная функция	Функция , определенная на множестве , называется нечетной, если для любого значения из выполняются условия и . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.		Задача. Укажите график нечетной функции. Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки О), поэтому рис. №3. Ответ. №3.
3. Периодическая функция	Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что при каждом значение и . При этом Т называется периодом функции. Для построения графика периодической функции периода достаточно построить его на любом отрезке длины Т и периодически продолжить его во всю область определения. Элементарными периодическими функциями являются: , , ,		Задача. Укажите график периодической функции Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Ответ. №4. Задача. Периодической является функция… Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Функция, описываемая уравнением №3 является периодической. Ответ. №3.
4. Простые гармонические колебания 5. Период колебания	Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону или , называются простыми гармоническими колебаниями. А – амплитуда колебания, - фаза колебания, - частота колебания, - начальная фаза.		Задача. Гармонические колебания с амплитудой равной 5, частотой равной 3 и начальной фазой описываются законом… Решение. Задача. Гармонические колебания с амплитудой D, частотой и начальной фазой определяются уравнением… Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Ответ. №4.
6. Ряд Фурье функции	Рядом Фурье периодической функции с периодом , определенной на отрезке , называется функциональный ряд , где , , , Величина интегралов в данных формулах не изменится, если пределами их взять и . Тогда: , ,		Задача. График функции при и его периодическое продолжение заданы на рисунке Тогда ряд Фурье для этой функции имеет вид… Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. По рисунку видно, что функция - общего вида, поэтому ряд Фурье для нее имеет вид №3. Ответ. №3.
7. Ряд Фурье для четной функции	Ряд Фурье для четной функции содержит только свободный член и косинусы, т.е. , где , , ,		Задача. Функция , заданная на отрезке является четной. Тогда разложение этой функции в ряд Фурье может иметь вид… Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Т.к. является четной функцией, то . Поэтому разложение этой функции в ряд Фурье может иметь вид 4. Ответ. №4.
8. Ряд Фурье для нечетной функции		Ряд Фурье для нечетной функции состоит только из синусов , где , , ,	Задача. Дана функция , . Тогда коэффициент разложения в ряд Фурье равен… Решение. Функция является нечетной, поэтому коэффициент равен 0. Следовательно, . Ответ. 0.
9. Условия Дирихле (разложения функции в ряд Фурье)		1) функция должна быть непрерывной в промежутке значения х от до или может иметь в указанном промежутке конечное число разрывов первого рода. 2) функция должна иметь конечное число максимумов и минимумов или не иметь их совсем.
10. Теорема Дирихле		Если функция с областью существования удовлетворяет условиям Дирихле, то 1) ряд Фурье функции сходится в указанном промежутке значений х; 2) сумма этого ряда равна функции во всех точках ее непрерывности; 3) в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна величине ординаты средней точки скачка графика функции; 4) при и сумма ряда одинакова и равна .	Задача. График периодической функции имеет вид: - сумма ряда Фурье для этой функции. Тогда сумма равна… Решение. В точке функция терпит разрыв, поэтому . Ответ. .