Глава 21. Теория функции комплексного переменного

§1 Комплексные числа
Комплексное число – это выражение вида . - действительная часть комплексного числа - мнимая часть комплексного числа ; - мнимая единица. Сопряженное к - это число		Задача. Найти геометрический образ выражения ; . Решение. ; ; , , . Тогда или Задача. Укажите соответствие между областями и их геометрическими интерпретациями 1) 2) 3) 4) Варианты ответов: А) В) С) D) E) Решение.
Комплексному числу можно поставить в соответствие число		Например,
Модуль комплексного числа – длина вектора . Модуль вычисляется по формуле		Задача. Модуль, равный , имеют комплексные числа… (выберите несколько вариантов ответа) 1) 2) 3) 4) 5) Решение. Найдем модуль каждого числа 1) 2) 3) 4) 5) Ответ. Модуль, равный имеют комплексные числа под номерами 4 и 5.
Аргумент - угол между вектором и осью . Вычисляется с точностью до . Главное значение аргумента вычисляется по схеме (в зависимости от значений и )		Задача. Найти аргумент комплексного числа . Решение. лежит в III четверти Итак, главное значение аргумента . Вообще же, аргументом может быть угол или . Ответ. .
Алгебраическая форма комплексного числа . Тригонометрическая форма комплексного числа Показательная форма комплексного числа Формула Эйлера		Задача. На рисунке представлена геометрическая иллюстрация комплексного числа Т огда тригонометрическая форма записи этого числа имеет вид Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Из чертежа видно, что ; , тогда . Сравнивая тригонометрическую форму с предложенными вариантами ответов, приходим к выводу, что правильным ответом является №3. Ответ. №3. Задача. Комплексное число можно представить в виде… Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. . I четверть. Тогда . Анализируем ответы: 1) 2) , - это тригонометрическая форма числа 3) не является ни одной из форм комплексного числа 4) , - это показательная форма числа Ответ. правильными являются ответы №2 и №4. Задача. Комплексное число в алгебраической форме имеет вид… 1) 2) 3) 4) Решение. . Ответ. №3.
§2 Действия над комплексными числами ( ; )
1) Сумма 2) Разность 3) Произведение 4) Деление		Задача. Вектор, соответствующий сумме комплексных чисел и , изображен на рисунке… 1) 2) 3) 4) Решение. Для числа ; . Ответ. №3. Задача. Комплексное число равно… 1) 2) Решение. Ответ. №1 Задача. Дано комплексное число . Установите соответствие между операциями над данным числом и результатами их выполнения. 1. ; 2. ; 3. ; 4. . А) В) 2 С) D) E) 4 Решение. 1) 2) 3) 4) Ответ. ; ; ;
§3 Функция комплексного переменного
Элементарные функции 1) 2) , Главное значение логарифма, если 3) 4) 5) 6) 7)		Задача. Найти Решение. Задача. Вычислить . Решение. Задача. Образом точки при отображении является 1) 2) 3) 4) Решение. Ответ. №4. Задача. Установите соответствие между функцией комплексного переменного и ее значением в точке 1. 2. 3. А) 3 В) С) D) E) Решение. 1) 2) 3) Ответ. ; ;
§4 Дифференцируемость функции комплексного переменного
Функция аналитическая, если Функции , , , , , являются аналитическими на все комплексной плоскости Произведение, сумма, разность двух аналитических функций является аналитической функцией.		Задача. Какие из функций являются аналитическими на всей комплексной плоскости 1) 2) 3) 4) Решение. 1) функции и являются аналитическими 2) . не является аналитической 3) Следовательно, являются аналитическими
При вычислении производной используется обычная таблица производных		Задача. Найти производную в точке . Решение.
§5 Интеграл от функции комплексного переменного
Интегральная формула Коши и следствие. Если - внутренняя точка области , то , где - граница замкнутой области ; - аналитична в Если не лежит внутри области , то		Задача. Вычислить Решение. - окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. не лежит внутри круга. Следовательно, . Задача. Вычислить . Решение.
§6 Операционное исчисление
Таблица оригиналов и изображений
			Теоремы: Если 1). , 2). 3). 4). 5). 6). 7). 8).