§ 4. Элементы специальной теории относительности

Постула­ты Эйнштейна. Преобразования Лоренца. Инварианты преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей. Преобразование импульса и энергии.

Основные формулы

• Преобразование Лоренца

; ; ; ,

где предполагается, что система отсчета движется со скоростью в положительном направлении оси системы отсчета , причем оси и совпадают, а оси и и и параллельны ; - скорость распространения света в вакууме.

• Релятивистское замедление хода часов

,

где - промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами; - промежуток времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами.

• Релятивистское (лоренцево) сокращение длины

,

где - длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень покоится (собственная длина); - длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью .

• Релятивистский закон сложения скоростей

; ; ,

где предполагается, что система отсчета движется со скоростью в положительном направлении оси системы отсчета , причем оси и совпадают, оси и , и параллельны.

• Интервал между событиями (инвариантная величина)

,

где - промежуток времени между событиями 1 и 2; - расстояние между точками, где произошли события.

• Масса и импульс частицы

; ,

где - масса покоя.

• Основной закон релятивистской динамики

,

где - импульс частицы.

• Полная и кинетическая энергии частицы

, .

• Связь между энергией и импульсом частицы

, .

Семестровые задания

4.1. Кинетическая энергия электрона равна 2 МэВ. Определить скорость электрона.

4.2. Протон с кинетической энергией Т = 3 ГэВ при торможении потерял треть этой энергии. Определить импульс частицы.

4.3. При какой скорости (в долях скорости света) масса любой частицы вещества в п = 3 раза больше массы покоя?

4.4. Определить импульс электрона, кинетическая энергия которого 1 ГэВ.

4.5. До какой скорости нужно разогнать электрон, чтобы его масса была в 2 раза больше массы покоя?

4.6. Электрон движется со скоростью, равной = 0,6·с. Определить импульс электрона (где с – скорость света в вакууме).

4.7. Какова масса протона в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью = 0,8·с (где с – скорость света в вакууме)?

4.8. Какую скорость (в долях скорости света) нуж­но сообщить частице, чтобы ее кинетическая энергия бы­ла равна удвоенной энергии покоя?

4.9. Скорость электрона = 0,8 с (где с - скорость света в вакууме). Зная энергию покоя электрона в мегаэлектрон-вольтах, определить в тех же единицах кинетическую энергию Т электрона.

4.10. Протон обладал кинетической энергией, равной энергии покоя. Определить им­пульс частицы (в единицах m_ос).

§ 5. Элементы механики сплошных сpeд

Понятие сплошной среды. Общие свойства жидкостей и газов. Идеальная и вязкая жид­кость. Уравнение Бернулли. Ламинарное и турбулентное течения жид­костей. Формула Стокса. Формула Пуазейля. Упругие напряжения.

Основные формулы

 Гидростатическое давление столба жидкости на глубине

,

где - плотность жидкости.

• Закон Архимеда

,

где - выталкивающая сила; - объем вытесненной жидкости.

• Уравнение неразрывности

,

где - площадь поперечного сечения трубки тока; - скорость жидкости.

• Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости

где - статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; - скорость жидкости для этого же сечения; - динамическое давление жидкости для этого же сечения; - высота, на которой расположено сечение; - гидростатическое давление.

• Формула Торичелли, позволяющая определить скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде,

,

где - глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

• Формула Пуазейля. Объем жидкости (газа), протекающий за время через длинную трубку,

,

где - радиус трубки; - ее длина; -разность давлений на концах трубки; -динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения) жидкости.

• Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости

,

где - динамическая вязкость жидкости; - градиент скорости; - площадь соприкасающихся слоев.

• Формула Стокса, позволяющая определить силу сопротивления, действующую на медленно движущийся в вязкой среде шарик,

,

где - радиус шарика; - его скорость.

Семестровые задания

5.1. В широком сосуде, наполненном глицерином ( г/см³), падает стеклянный шарик ( г/см³) с постоянной скоростью. Диаметр шарика d = =1 мм. Определить динамическую вязкость глицерина.

5.2. На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхности которого имеется малое отверстие, расположенное на расстоянии h₁= 9 см от уровня воды. Уровень воды в сосуде поддерживается постоянным. На каком расстоянии от сосуда струя воды падает на стол.

5.3. В высокий цилиндрический сосуд, наполненный глицерином, бросают алюминиевый шарик диаметром d = 6 мм. Определить, при какой скорости па-дение шарика станет равномерным.

5.4. Определить время истечения несжимаемой жидкости из открытого цилиндрического сосуда высотой H = 4,9 м, если диаметр небольшого отверстия в дне сосуда в 30 раз меньше диаметра сосуда.

5.5. Вода течет в горизонтально расположенной трубе переменного сечения. Скорость воды в широкой части трубы равна 20 см/с. Определить скорость , в узкой части трубы, диаметр которой в 1,5 раза меньше диаметра d₁ широкой части.

5.6. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет со скоростью = 2 м/с. Определить скорость нефти в узкой части трубы, если разность р давлений в широкой и узкой частях ее равна 6,65 кПа.

5.7. К поршню спринцовки, расположенной горизонтально, прило­жена сила

F =15 H. Определить скорость истечения воды из нако­нечника спринцовки, если площадь поршня равна 12 см².

5.8. Давление р ветра, на стену равно 200 Па. Определить скорость ветра, если он дует перпендикулярно стене. Плотность воздуха равна 1,29 кг/м³.

5.9. Бак высотой h = 1,5 мм наполнен до краев водой. На расстоя­нии d = 1 м от верхнего края бака образовалось отверстие малого диаметра. На каком расстоянии от бака падает на пол струя, вытекающая из отверстия?

5.10. Бак высотой Н = 2 м до краев заполнен жидкостью. На какой высо­те h должно быть проделано отвер­стие в стенке бака, чтобы место паде­ния струи, вытекающей из отверстия, было на максимальном от бака рас­стоянии?