§ 9. Молекулярно- кинетическая теория

Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярно-кинетический смысл температуры. Зависимость давления от абсолютной температуры. Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа.

Основные формулы

• Количество вещества

или ,

где N - число структурных элементов системы (молекул, атомов, ионов и т.п.); N_А - постоянная Авогадро; М - молярная масса вещества; m - масса вещества.

• Концентрация частиц (молекул, атомов) однородной системы в единице объема

где V - объем системы;  - плотность вещества.

• Зависимость давления газа от концентрации частиц n и температуры Т

р = nkТ,

где k - постоянная Больцмана.

• Основное уравнение кинетической теории газов

р = n_поступ,

где _поступ - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

• Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы молекулы ₁ = kT

и приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия молекул)  = kT,

где k - постоянная Больцмана; Т -термодинамическая температура, i –число степеней свободы молекулы.

• Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

_посуп = kT.

• Скорость молекул: средняя квадратичная

или

средняя арифметическая

или

наиболее вероятная

, или ,

где m₀ - масса одной молекулы.

Семестровые задания

9.1. Какое число молекул содержится в 1 г водяного пара?

9.2. В сосуде емкостью 4л находится 1г водорода. Какое число молекул содержится в 1см³ этого сосуда?

9.3. Определить наиболее вероятную скорость молекула газа, плотность которого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м³.

9.4. Сколько молекул будет находиться в 1см³ сосуда при 10⁰С, если сосуд откачан до наивысшего разряжения, создаваемого современными лабораторными способами (р = 13210^-11 Па)?

9.5. Найти среднюю квадратичную скорость молекул воздуха при температуре 17⁰С, считая воздух однородным газом, молярная масса которого равна М = =0,029кг/моль.

9.6. Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах.

9.7. Найти число молекул водорода в 1см³, если давление равно 2,6310⁴ Па, а средняя квадратичная скорость его молекул при данных условиях равна 2400м/с.

9.8. Плотность некоторого газа равна 610^-2кг/м³, средняя квадратичная скорость молекул этого газа равна 500м/с. Найти давление, которое газ оказывает на стенки сосуда.

9.9. Найти импульс молекулы водорода при температуре 20⁰С. Скорость молекулы считать равной средней квадратичной скорости.

9.10. В сосуде объемом 2л находится 10г кислорода под давлением 9,0410⁴ Па. Найти 1) среднюю квадратичную скорость молекул газа; 2) число молекул, находящихся в сосуде; 3) плотность газа.

§ 10. Статистические распределения

Вероятность и флуктуа­ции. Распределение Максвелла. Скорости теплового движения частиц. Распределение Больцмана для частиц во внешнем потенциальном поле. Число степеней свободы. Распределение энергии по степеням свободы. Внутренняя энергия идеального газа. Молекулярно-кинетическая теория теплоемкости идеальных газов и ее ограничен­ность.

Основные формулы

• Элемент объема фазового пространства

,

где q_i - пространственные координаты i-той частицы, p_i - импульсные координаты.

 Вероятность нахождения dW частицы в элементе объема фазового пространства

где t - время пребывания в элементе объема, t - время наблюдения, f-плотность вероятности или функция распределения.

• Условия нормировки

• Распределение Максвелла по скоростям

• Распределение Больцмана

,

где U - потенциальная энергия частицы; n - концентрация частиц; n₀ - концентрация частиц в точках поля, где U=0.

• Барометрическая формула

где - плотность воздуха, - нормальное атмосферное давление.

• Кинетическая энергия молекулы

где - сумма числа поступательных , числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы:

• Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме

где - число степеней свободы.

• Внутренняя энергия одного моля идеального газа .

Семестровые задания

10.1. Чему равна энергия теплового движения 20 г кислорода при температуре 10⁰С? Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного движения и какая часть на долю вращательного?

10.2. Найти кинетическую энергию теплового движения молекул, находящихся в 1г воздуха при t = 15⁰С. Воздух считать однородным газом, молярная масса которого равна 0,029 кг/моль.

3. Чему равна энергия вращательного движения молекул, содержащихся в 1кг азота при t = 7⁰С?

10.4. Чему равна энергия теплового движения молекул двухатомного газа, заключенного в сосуд объемом 2 л и находящегося под давлением 150 кПа?

10.5. Кинетическая энергия поступательного движения молекул азота, находящегося в баллоне объемом 0,02 м³, равна 5 кДж, а средняя квадратичная скорость равна 210^-3 м/с. Найти массу азота в баллоне.

10.6. В баллоне емкостью V = 0,05 м³ находится 0,12 Кмоль газа при давлении Р = 60·10⁵ Па. Определить среднюю кинетическую энергию теплового движе-ния молекулы газа.

10.7. 1кг двухатомного газа находится под давлением Р = 80 кПа и имеет плотность  = 4 кг/м³. Найти энергию теплового движения молекул газа.

10.8. Какое число молекул двухатомного газа занимает объем V = 10см³ при давлении Р=5,3 кПа, и при температуре t = 27⁰С?

10.9. Найти удельную теплоемкость кислорода:1) V = const; 2) p = const.

10.10. Найти для кислорода отношение удельной теплоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме.

10.11. Чему равны удельные теплоемкости С_v и C_p некоторого двух атомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях равна 1,43 кг/м³.

10.12. На какой высоте плотность воздуха в 2 раза меньше, чем его плотность на уровне моря? Температура воздуха везде одинакова и равна 273 К.

10.13. Обсерватория расположена на высоте h = 3250 м над уровнем моря. Най-ти давление воздуха на этой высоте. Температура воздуха везде одинакова и равна 278 К. Молярная масса воздуха M = 0,029 кг/моль. Давление воздуха на уровне моря р₀ = 101, 3 кПа.

10.14. На какой высоте h давление воздуха составляет 75 % от давления на уровне моря? Температура воздуха везде одинакова и равна 273 К.

10.15. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа при температуре 5000⁰ С равна 1,6·10^-23 Дж. Какова эта энергия при температуре 1000⁰ С?

10.16. Каким должно быть давление воздуха на дне скважины глубиной 8 км., если считать что масса киломоля воздуха 29 кг/кмоль, температура по всей высоте постоянная и равна 300 К. Давление воздуха у поверхности Земли равно 1,01·10⁵ Па.

10.17. На какой высоте содержание водорода в воздухе по отношению к углекислому газу увеличится вдвое? Температуру по всей высоте считать постоянной и равной T=318 К.

10.18. Определить высоту, на которой находится центр масс столба воздуха, подчиняющегося барометрической формуле.

10.19. Вычислить среднюю квадратичную скорость и полную кинетическую энергию молекул углекислого газа при температуре 223 К.

10.20. Найти среднюю квадратичную скорость и энергию поступательного движения молекул водорода при температуре 0⁰ С.