1580

6. z x	2	y	2	x y;	Д (–2; 2);	~	(–2; 2; 12).
						Д

7.2,011,02 .

8.z x2 2x 1 2y2.

9. z x2y2			в области x2 y2		1.
10.
	x		1	2		3	4	5
	y		4,4	1,1		0,4	1,2	1,5

6.2.Пример выполнения типового расчета

1.Найти и изобразить на плоскости область определения функции

двух переменных: z	x y	.
	x y2 1

Решение. Очевидно, аналитическое выражение, задающее данную функцию, имеет смысл тогда и только тогда, когда знаменатель дроби не равен нулю: x y2 1 0. Уравнение x y2 1 0 задаёт на коор-

динатной плоскости xOy параболу y2 x 1, вершина которой находится в точке (1; 0), ветви направлены влево, а осью симметрии является ось абсцисс. Таким образом, областью определения данной функции являются все точки координатной плоскости, кроме тех, что

лежат на параболе y2 x 1.

y

О 1 x

2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:

a)z ln xy.

109

Решение.

zx

(ln xy)x

y const

1

(xy)x

y

1

;

xy

x

xy

zy

(ln xy)y

x const

1

(xy)y

x

1

.

xy

y

xy

б) z x4 y5.

Решение.

zx (x4 y5)x y5 (x4 ) 4x3y5; zy (x4 y5)y x4 (y5) 5x4 y4 .

в) z xtgy .

Решение.

x zx (xt g y)x tg y x tg y; zy (xtg y)x x (tg y) cos2 y .

3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: z sin xy .

Решение. Сначала найдём частные производные первого порядка:

zx (sin xy)x ycosxy; zy (sin xy)y xcosxy .

Теперь находим производные второго порядка по переменным x

и y:

zxx (ycosxy)x y2 sinxy; zyy (xcosxy)y x2 sinxy.

Находим смешанные производные:

zxy zyx ( y2 sinxy)y ( y2) sinxy ( y2) (sinxy)y

2ysinxy xy2 cosxy.

110

4. Найти производную функции z 3xy в точке M0 (8; 1) по направ-

лению вектора l ( 1; 1).

Решение. Производная функции z f (x;y) по направлению вектора

l равна z zx cos zy cos , где cos , cos направляющие ко-
l
синусы вектора l .
Находим частные производные данной функции:
zx	y ; zy	x .
	33 (xy)2	33 (xy)2

Находим значения частных производных в точке M0 (8; 1):

zx			1	; zy		2	.
	M0
		12			M0 3

Находим направляющие косинусы вектораl																														. соs								lx			; соs										ly			;
																																							l													l
							1										1																	1												1
cos																					; cos																													.
						( 1)2 ( 1)2												2												( 1)2 ( 1)2																	2
Окончательно получим
	z						1		1							2					1						1			2												7						.
	l			М0			12		2							3					2						12 2 3 2															12 2
5. Найти градиент функции z x2																					2y2						xy в точкеM0 (1; 1).

Решение. Градиент функции двух переменных z f (x; y) равен

gradz z i z j.

x y

Найдём частные производные:

zx 2x y; zy 4y x.

111

Найдём значения частных производных в точке M0 (1; 1):

		zx	M0			3; zy	M0	5.
Тогда градиент равен gradz(М) 3i 5j .
6. Дано: функция z x	2	y		2	, точки Д (1; 1),				~	(1; 1; 2). Требуется:
									Д

a) линеаризовать функцию в окрестности точки Д ;

б) составить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

~

верхности z= (x,y) в точке Д .

Решение.

a) Линеаризуем функцию z x2 y2 в окрестности точки Д, т.е. заме-

ним данную функцию линейной функцией в окрестности точки Д:

z f (x0 ; y0 ) fx (x0; y0 )(x x0 ) fy (x0; y0 )(y y0 ).

Имеем x0 1; y0 1; f (Д) f (1,1) 2.

Найдем частные производные функции в точке Д:

zx	2x,	zy 2y,	zx (Д) 2 1 2,	zy (Д) 2 1 2.
	x2 y2 2 2(x 1) 2(y 1) 2x 2y 2.

б) Из приближенного равенства имеем		уравнение касательной плос-
кости z(x; y) 2x 2y 2.
Уравнение нормали имеет вид		x- x0		y y0		z z0	. Для
	z (x0 ; y0 )			z (x0 ; y0 )
						1

заданной поверхности уравнение нормали имеет вид

x 1 y 1 z 2.

2 2 1

112

7. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения 2,023 0,982 .

Решение. Воспользуемся приближённым равенством

f (x; y) df (x; y).

Отсюда f (x; y) f (x0 ; y0 ) df (x; y).

Рассмотрим функцию z x3 y2 . Найдём полный дифференциал этой функции:

	dz zx x zy y 3x2 y2 x 2x3y y.
Примем x0 2; y0		1;	x 0,2;	y 0,2. Тогда получим
2,023 0,982	23 12	3 22 12 0,02 2 23 1 0,02 8 0,08 7,92.

Вычисление с помощью микрокалькулятора даёт результат 7,916.

8. Исследовать функцию z x2 y2 2xy на экстремумы. Решение. Областью определения данной функции является вся числовая плоскость xOy . Найдём частные производные данной функции:

zx 2x 2y; zy 2y 2x .

Производные первого порядка непрерывны на всей области определения функции. Для того чтобы найти стационарные критические точки функции, решим систему уравнений

2x 2y 0;	x 0;
2x 2y 0;	y 0.

Получили одну стационарную критическую точку M(0;0). Для того чтобы выяснить, является ли она точкой экстремума, найдём производные второго порядка.

zxx 2; zyy 2; zxy 2.

113

Найдём дискриминант:		D AC B2 ,		где
			(0; 0)		(0; 0)..
A zxx	(0; 0); B zxy			; C zyy

В данном случае A 2; B 2;C 2; D 4 4 8 0. В данной точке экстремума нет.

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z xy x y в области 0 x 1;1 y 2.

Решение. Прежде всего, заметим, что данная функция непрерывна в рассматриваемой области. Найдём стационарные критические точки функции, принадлежащие указанной области. Частные производные

первого порядка zx		y 1; zy		x 1	непрерывны в данной области.
Составим систему уравнении
		y 1 0;					x 1;
		x 1 0;					y 1.
Получили одну стационарную критическую точку M(1;1) . Най-
дём значение функции в этой точке:					z		M 1.
Далее	исследуем		функцию					на	границе	области:
0 x 1;1 y 2.		Область		представляет					собой прямоугольник
АВCD.
		y
		B	C
		2	D
		1 A
		О	1						x

1)Уравнение отрезка АВ: x 0;1 y 2. Функция принимает вид z y . Функция линейная, принимающая наибольшее и наименьшее значения на концах отрезка. Тогда z y 1 1; z y 2 2.

2)Уравнение отрезка СD: x 1;1 y 2. Функция принимает вид z 1. Функция постоянная. Тогда z y 1 1, z y 2 1.

114

3) Уравнение отрезка AD: y 1; 0 x 1. Функция принимает вид

z 1. Функция постоянная. Тогда z					x 0 1; z			x 1 1.
4) Отрезок ВС определяется условиями						y 2; 0 x 1. Функция
принимает	вид	z x 2.	Функция					линейная.	Тогда

zx 0 2; zx 1 1.

Сравнивая все полученные величины, имеем

minz z(0; 2), max z z(1;1) z(0;1) z(1; 2).

10. Дана система точек, координаты которых указаны в таблице.

x	-1	0	1	2	3	4
y	0	2	3	3,5	3	4,5

Построить по методу наименьших квадратов эмпирическую функцию y kx b для данной системы точек. Найти среднее квадратическое отклонение полученной прямой от системы точек. Решение. По заданной таблице построим точечный график функции.

y

4

3

2

1

О

1

2

3

4

5

x

По данным таблицы найдем значения параметров k и b функции приближения y kx b, для чего воспользуемся нормальной системой вида

	n	2	n		x y	;
	k x		b x	i
	i 1	i	i 1		i i
					i 1
	n				n
k xi bn yi.
	i 1		i 1

115

Составим вспомогательную таблицу.

№	xi	yi	xi2	xi yi	kxi b	kxi b yi	(kx b y	i	)2
п/п							i
1	-1	0	1	0	0,81	0,81	0,6561
2	0	2	0	0	1,55	-0,45	0,2025
3	1	3	1	3	2,29	-0,71	0,5041
4	2	3,5	4	7	3,03	-0,47	0,2209
5	3	3	9	9	3,77	0,77	0,5929
6	4	4,5	16	18	4,51	0,01	0,001
	9	16	31	37	-	-	2,1766

Из сумм столбцов при xi , yi , xi2, xi yi составляем коэффициенты системы

31k 9b 37;

9k 6b 16.

Из решения системы находим искомые параметры : k =0,74 и b =1,55. Подставим значения найденных параметров в формулу эмпирической функции y kx b. Искомое уравнение будет иметь вид

y 0,74x 1,55.

Построим график полученной функции на том же рисунке, где изображены точки.

Сумма квадратов отклонения ординаты эмпирической функции y 0,74x 1,55 в точке xi от ординаты данной точки равна

6

2 (kxi b yi )2=2,1766.

i 1

Среднее квадратическое отклонение прямой от системы точек :

		2		2		2,1766
		ср							0,36. Среднее отклонение, которое приходится на
				6		6
	одну точку: ср											2		0,6.
									6

116

РАЗДЕЛ 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

7.1. Типовой расчет

Вариант №1

1. Вычислить неопределенные интегралы. 1. 3x 7x2 cosx 1 3x2 dx.

3. 7x(4cos(7x) 1)dx.

5.	xdx	.
(x 1)(x 3)

2. 73x 5dx.

4.		x 3	dx.
x2		6x 1

6. (5x 8)e10xdx.

7. cos6 3xdx.	8.			dx			.
		3
			x x

2.Вычислить площадь, ограниченную кривыми y x2 ; y 2x 3.

3.Найти длину дуги кривой y x2 lnx ; 1 x 2.

42

4.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Оx облас-

ти, ограниченной линиями yx 1; 1 x 5.

Вариант №2

1. Вычислить неопределенные интегралы.

			2		3
1.		2x		7cosx		dx.
					4 x2

3. x(3x2 10)4 dx.

x 1

5. dx. (x2 1)(x2 1)

7. sin5 xdx.

2. (7x 10)4dx.

4.		3x 1		dx.
		x2 3x 1

6. (7x 2)log12 xdx.

xdx

8. x 2 3x 2.

117

2.Вычислить площадь, ограниченную кривыми y x2 9; y 0.

3.Найти длину дуги кривой y ln x2 1 ; 2 x 3.

4.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Оx облас-

ти, ограниченной линиями y2 6x; 3 x 5.

Вариант №3

1. Вычислить неопределенные интегралы.

									4		x
	1.			2cosx			3			e	dx.
									x
				x2dx
	3.					.
	8 x3
	5.			x	2 1			dx.
		(x2
					4)x

7. sin2 xcos9 xdx.

2.			dx		.
		11 6x
4.			3x 6			dx.
		x2 x 8

6. 3x 1 cos2xdx.

dx

8. x 1 24x 1.

2.Вычислить площадь, ограниченную кривыми y x2; y 4x 3.

3.Найти длину дуги кривой y ex e x 3; 0 x 4.

2

4. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Оx области, ограниченной линиями 3x y 0; 3x 4y 0; y 3.

Вариант №4

1. Вычислить неопределенные интегралы.

	3				7
1.						2x 3 dx.
					6 x2
	cos2 x
3.			x2dx	.
		33 x3
				x 6
5.							dx.
		(x 2)(x 3)(x 8)

7. sin7 xdx.

dx

2. (33 x)3.

4.		4x 1		dx.
		x2 2x 11

6. (2x3 x)log4 xdx.

dx

8. 33x 1.

118