1580

2. а) y x2ex ; в) y

; с) y

x 3

y e

x

.

cos x

; д)

x3

3. 3x3 y2 2xy 3x y 4 0 .

4. x 2cost;

y tsin 2t.

5. cos890 .

6. y 3sin

x

.

4

7. y tg

1

x;

x0 .

4

8. y xx2 .

9. а) y

1

; б) y

x2

.

3 x2

3

x 1

10. y cos2x;

;

.

2

2

Вариант № 14

1. f (x)

1

; x0

1;

x 0,01.

x2

1

2. а) y x2e3x ; б)y

; в) y

x

1

; г) y 2

x

.

tgx

2

1

x

3. 3x3 y 3xy2 3x2 y2 xy 0.

x 2t cost;

4.

y t2 sin2t.

5. 5

.

240

6. y

3

tg4x.

16

7. y x2 3x 2;

x0 2.

8. y x5x .

9. а) y

x

; б)y

2x2 3x 5

.

x

2

2

5x

79

10.

y tg

x

;

;

.

2

2

2

Вариант № 15

1. f (x)

1

;

x0

1;

x 0,1.

x3

x2

1

2

2. а) y x2e2 x ; б)

y 3 cos x ; в) y

; г) y 2(1 x

) .

x

2

1

3. 2x2 y3 xy2 3x2 6xy 0.

4. x t 2sin 2t;

2t tcos2t.

5. 3

.

26

6. y ln(sinx).

7. y x2 5x 6;

x0 1.

8.

y (3x)2x .

1

9. а) y 2x

2

; б)

y

x2

2x 2

.

x

x 1

x

10.

y sin

;

;

.

2

2

2

Вариант № 16

1.

f (x) x2 ;

x0

1;

x 0,01.

2. а) y

ex

y

cos

; в)

y arccos

1

.

; б)

sin x

y x

2 ln x; г)

e

x

3

2

x

3. xy3 y3 x2 2 0.

4. x t(tcost 2sint);y t(tsint 2cost).

5. arctg0,97.

1

6. y x2 1 .

7. y2 4 x в точках пересечения с осью Ох.

80

	8.	y (3x)2x .
	9. а) y			2x				; б)	y	8	.
				2 x2
										x2 4
	10.	y	1		;	1;3 .
			2
			x							Вариант № 17
	1.	f (x) x3 ;				x0		0;	x 0,01.

		y	ex 1
	2. а)				y cos x3
			ex e x ; б)

3. x3 ln y x3ey 0.

x sint cost;

4. y at a t .

5. 15,8.

1 ; в) y x2 ln(x 4); г) y arcsin x3 .

6.

y

x

.

x

2

1

7.

y

x3

;

x0 1.

3

8.

y (cosx)sin x .

9. а) y

3x4 1

; б) y

1

.

x3

x2 3

10. y

1

; 2;5 .

x

2

1

Вариант № 18

1.

f (x)

1

;

x

1;

x 0,1.

x2

0

x

x

2. а) y

e

e

; б) y x3 ln(x2

4x); в)

y cos3

; г) y arctg

1

.

x

x

e

x

e

x3

3.

y cos y xsin y.

x ln(1 t2);

4.

y arcctgt.

81

5. tg460 .

x

6. y x2 1.

7. y 8 ;

4 x2

8. y (cosx)x

9. а) y x

3 x2

10. y

1

x2 1

x0 2.

.

;б) y x2 2x 2.

x1

;1;1 .

Вариант № 19

1. f (x) х

; x0 0;

x 0,01.

2. а) y

ex e x

; б)

y sin3

; в)

y x3 cos(x2 1); г)

y arcctg

1

.

x

ex

1

x

3. x2 y2 ln x 4 0.

3

t;

4.

x

4

t.

y

5. 3

.

1,02

6.

y

x2

.

x

2 1

7. y x2 e2x;

x0 0.

8.

y (sinx)cos x .

9. а) y

2x3 1

; б)

y

1

.

x2

1 x2

10.

y

x

;

2;2 .

x2 1

Вариант № 20

1.

f (x) x3

; x0

1;

x 0,01.

2. а)

y

ex

e x

; б)

y ln(cosx); в)

y x2 sin x2; г)

y arccos

.

x

ex 1

82

3. x3 y2 3xy 0.

4. x ln(1 t2 );

y t arctgt.

5. 3

.

8,01

6.

y

x 1

.

7.

x2

y 4x- x2 в точке пересечения с осью Ох.

8.

y (sinx)ln x .

9. а) y

2 x

; б) y

x2 1

.

x3

x

10. y x2

1

;

1

; 2

1

.

x

2

2

Вариант № 21

1.

f (x) x2 ;x0

2;

x 0,01.

2. а) y

2cosx

; б)

y cos

; в)

y x2 sin3x; г)

y arcsin

1

.

tgx

ex 2

x3

3. xy3 5xy x2 2 0.

x 2et;

4.

y t 3t2.

5. sin440 .

6.

y

5

.

x3 1

7.

y sin3x;

x0

.

6

8.

y cosxsin x .

9. а) y x

4

; б)

y

8

.

x2

x2 4

10. y х 2

; 1/9;4 .

х

Вариант № 22

1.

f (x) x3 ;

x0

0;

x 0,01.

83

2. а) y ex 1 ; б) y x3 3x; в) y x2 lg(x 1);

2сosx

г) y arcsin (sin 8x).

3. xy3 2x2y2 x2 4 0.

x 2t2 t;

4.

y 2t 3t2.

5. sin910 .

6.	y	3x	.
		x2 4
7.	y cos5x ; x						.
				0	5

8.y (tgx)sinx .

13

9.а) y x x ; б) y x2 3.

10. y 3x x3 ; 0;3 .

								Вариант № 23
1.	f (x)		1	; x0	1;		x 0,1.
			x2
2. а) y		2arcsin x				; б)		y cos3(2x 1); в)	y x3(x2 23x);
			1 x2
г)	y arctg(x				1 x2			).

3. x2 y3 x2 y x2 y 0. x

x 2t2 3;

4.

y t2 4t3.

5. cos890 .

3x

6. y x2 4 .

1

7. y sin 2 x;

8. y (sin x)x .

x0 3 .

84

9. а) y	x	; б) y	x2 2x 2	.
	2 x2
			x 1

10. y x2 2x; 0,5;2 .

						Вариант № 24
	1.	f (x) x4 ; x0 0;			x 0,01.
	2. а) y		3tg x	; б) y sin 4			; в)	y		cos(x2 1);
						x 2
									x
			ex 1
	г)	y arcctg(1 e2x).

3. x2 y2 2xy 3x3 y 0.

x 2t2 5t;

4.

y 3t2 4t 1.

5. cos590 .

	6.	y	x3				.
			x 1
	7.y sin			x	;		x0 .
			4

8.y (sinx)x .

x1

9.а) y x2 4 ; б) y 1 x2 .

10.	y		4		8x 15;					2; 0,5 .
			x2
										Вариант № 25
1.	f (x) x3 ; x0						0;			x 0,1.
2. а) y				x2 1				; б)		y log2(cos x); в)	y x2 sin2 x;
				3tgx 1
г)	y arccos					1 x2			.
3. 2x3y2 2xy 3x 3y 7 0.

85

x 2t3 t2;

4.
	y 3t4 t.
5. cos910 .
6.	y		x	.
	1 x2
7.	y x2 3x 2;					x0 2.
8.	y (cosx)lnx .
9. а) y			x 2		; б)	y	x2	.
			x3
							x 1

10. y x x ; 0;9 .

5.2. Пример выполнения типового расчета

	1. Вычислить приращение функции f (x)									1		в точке x0		1, соответ-
										x2
	ствующее приращению аргумента x 0,02.
	Решение. Воспользуемся формулой
	f (x) f (x) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ).
	Для данной функции получим
	f (x)	1			1			1	1			0,0404		101	.
		(1 0,02)	2		2
			1				1,0404				1,0404			2601

2. Найти производные функций:

а) y ex 2х .

2

Решение. Используем правило вынесения постоянного множителя за знак производной и правило дифференцирования разности:

86

			x	2	x			1											1							e	x	2	x	ln2
y		e								e	x			2	х					e	x	2	х	ln2							.
				2				2											2									2

б) y lncosx .

Решение. Используем правило дифференцирования сложной функ-

ции: f g x f (g) g (x).

1

1

1

y

ln

cos x

(

(cos x)

cos x)

cos x

cos x

2 cos x

sin x

1

tg x.

2cos x

2

Заметим, что этот результат можно было получить, представив

функцию в виде 1lncosx.

2

в) y e x ln x.

Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций и производной сложной функции. Получим

y

(e

x

lnx)

-x

lnx e

x

x

lnx

e x

(e

.

)

(lnx) e

1

x

г) y arccos

.

x3

Решение. Используем формулу производной сложной функции. Получим

1			1
y (arctg		)
	x2		1
			1
				x4

3.Продифференцировать

2xy2 x2 y x2 2 0.

1		)	x4	2			2x
(				(		)		.
	x2		x4 1		x3		x4 1

неявно заданную функцию

87

Решение. Продифференцируем обе части данного уравнения по переменной x, учитывая при этом, что y является функцией аргумента х. Получим

(2xy2 x2 y x2 2)x 2y2 4xyy 2xy x2 y 2x 0.

Из этого равенства выразим производную yx :

4xyy x2y 2xy 2y2 2x, откуда y 2xy 2y2 2x .

4xy x2

4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:

x 2cost2;

y sint 3t.

Решение. Используем правило дифференцирования функции, задан-

ной параметрически: yx					yt	.
					xt
		(sint 3t)					cost 3		3 cost
Получим yx										.
		(2cost2)					2( sint2) 2t
									4tsint2

5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 531.

	Решение.										Используем												приближённое					равенство
	f (x) df (x) f (x) x, верное при малых значениях x . Откуда
											f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x.
			Преобразуем												сначала										исходное		выражение:
													1						1					Положим f (x) 5					; x0 1;
	5		5							5 32(1					) 25 1								.					x
		31			32 1
												32							32
				1																				1
	x					.		Производная равна f (x)																		; f (1) 1.	Окончательно
	32												1				31			15				55 x4
	имеем 5								2(1 1 (					))				1				.
							31
												32
															16				16

88