1580

3.

arcsinx

dx.

4.

x 8

dx.

x2 6x 20

1 x2

5.

x2 11

dx.

6. (x 8)e3xdx.

(x 1)(x 1)(x 2)

3

1

7. sin

2

4x cos3xdx.

x

dx.

8.

x 1

2. Вычислить площадь, ограниченную кривыми y x36 x2; y 0;

0 x 6.

3

3.Найти длину дуги кривой y x2 ; 0 x 4.

4.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Оx облас-

ти, ограниченной линиями y x3; y x2.

Вариант №24

1. Вычислить неопределенные интегралы.

1. (3cosx 6x 8x10 )dx.

3. sinx 55cos 1dx.

5. 2x 1 dx. (x 1)(x 8)

sinх

7. 1 cos3 хdx.

2. dx .

4 3x

2x

4. x2 4x 20dx.

6. (7x 8)cos11xdx.

		dx
8.					.
	1
			5x 4

2.Вычислить площадь, ограниченную кривыми x y 2 2;

x4y 8.

3.Найти длину дуги кривой 9y2 4x3; 0 x 3.

4.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Оx облас-

ти, ограниченной линиями y x2 2x 1; x 2;

y 0.

Вариант №25

1. Вычислить неопределенные интегралы.

	1. (3sinx 2ex e 3x 11)dx.	2.	dx	.
			6 (8x)2

129

	3. x3ex4 dx.			4.		3x 6			dx.
		x				x2 8x
	5.		dx.	6. (5x 11)e3xdx.
		(x 1)(x 10)
							x
	7. sinxcosxsin6xdx.
				8.						dx.
							3x 1 2

2.Вычислить площадь, ограниченную кривыми y (x 1)2 ; y2 x 1

3.Найти длину дуги кривой y x2 1; 2 x 2 .

2

4. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Оx области, ограниченной линиями y x3; y x.

7.2.Пример выполнения типового расчета

1.Вычислить неопределенные интегралы.

1. (x 37x 22x)dx.

Решение.

1

1

1

1

(x 37x 22x)dx (x2 37 x3 4x)dx x2dx 37 x3dx 4xdx

	3			4			4x						33								4x
	x 2				x 3				2						7
		3 7						C			x x						x3 x					C.
	3			4
							ln4		3				4								ln4
	2			3
2.	cos(7x 3)dx.
Решение.				Обозначим					аргумент				косинуса							одной буквой: t 7x 3.
Вычисляем равенство для дифференциалов:

t'dt (7x 3)'dx;

dt 7dx.

Отсюда dx dt .

7

130

Теперь выполним замену:

		t 7x 3;				dt		1		1
	cos(7x 3)dx	dt 7dx;			cost				costdt		sint C
		dx	1	dt.	7		7		7
		7

1sin(7x 3) C.

7

3.

3x2 6x 1

dx.

3

x3 3x2 x 5 2

Решение.

3x2 6x 1

x3 3x2 x 5 t;

dt

2

dx

t

3dt

x3 3x2 x 5 2

dt (3x2

3

6x 1)dx.

3 t2

1

t13 C 33t C 33x3 3x2 x 5 C. 3

6x 2

4. x2 4xdx.

Решение.

6x 2

Выделяемполныйквадратвзнаменателе:

dx

x2

x2 4x (x2 4x 4) 4 (x 2)2 4

4x

замена

6x 2

dx

x 2 t;

6(t 2) 2

dt

6t 14

6

tdt

(x 2)2

dx dt;

t2 4

t2 4

4

t2 4

x t 2

dt

1

d(t

2

4)

dt

1

t 2

2

t2

C

14

6

14

3ln

4

14

ln

t2 4

t2 4

t

2 4

2 2

t 2

(x2 2)2 4

7

x

C 3ln

x2 4x

7

ln

x

C.

3ln

ln

x 4

x 4

2

2

131

5.

3x2 5x 12

dx.

(x 1)(x 2)(x 3)

Решение.

Разложим дробь в сумму простейших дробей:

3x2 5x 12

52

145

2710

.

(x 1)(x 2)(x 3)

x 1

x 2

x 3

Теперь найдем интеграл:

3x2 5x 12

dx

5

dx

14

dx

27

dx

(x 1)(x 2)(x 3)

2

5

x 1

x 2

10

x 3

5

d(x 1)

14

d(x 2)

27

d(x 3)

5

ln

x 1

14

ln

x 2

2

x 1

5

x 2

10

x 3

2

5

27

ln

x 3

C ln10

C

(x 2)28(x 3)27

.

10

(x 1)25

6.

(7x3 3)lnxdx.

Решение.

u

1

u lnx du

dx;

(7x3

3)lnxdx

x

x4

dv (7x3 3)dx v (7x3 3)dx 7

3x

u

4

7

4

7

4

dx

7

4

7

3

x

3x

lnx

x

3x

x

3x

lnx

x

3 dx

4

x

4

4

4

7

4

7

4

x

3x

lnx

x

3x

C.

4

16

7.

sin6 x cos3 xdx.

Решение.

sinx t;

sin6

x cos3 xdx sin6

x (1 sin2

x) cosxdx

cosxdx dt

t6(1 t2)dt (t6

t8)dt

t7

t9

C

sin7 x

sin9 x

C.

dx

7

9

7

9

8.

.

3 2x 6

2x 6

132

Решение.

2x 6 t6;

dx

2dx 6t5dt;

3t5dt

3

t5dt

3

t3

dt

3 2x 6

2x 6

3 t6

dx 3t5dt;

t6

t2 t3

t 1

t 6

2x 6

мыизбавилисьотиррациональности,получили неправильную

рациональнуюдробь

(t

3

1) 1

2

1

t

3

t

2

dt 3 (t

t 1

)dt

t ln

t 1

C

3

t 1

t 1

3

3

2

3

2x 6

2x 6

6

6

2x 6 ln

2x 6 1

C.

3

3

2

2. Найти площадь области, ограниченной линиями y x2 4x; x y 4 0.

Решение. Область имеет вид, изображенный на рисунке.

y

-4	1	x
	-4

Площадь	данной	фигуры	находится	по	формуле
b

S ( f1(x) f2(x))dx. Для нахождения пределов интегрирования вы-

a

числим абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для

y x2 4x;

этого решаем систему уравнений

y x 4.

Откуда находим x1 4; x2 1. Таким образом, площадь данной фигуры равна

133

1	1		3x	2		x	3	1
S	(x 4) (x2 4x) dx (4 3x x2)dx 4x
			2
4	4				3				4

					3			1													64					125				(кв. ед.).
	4												16 24
					2																3					6
								3
3. Найти длину дуги кривой y x																												3
																													2 при 0 x 5.
Решение.																																3						1
											Вычислим производную y																					'					x 2 . Используем формулу
																																2
													5													5					9
																1 (y ')2dx
длины дуги												L																1				xdx
													0													0				4
	4 2							9					32		5	8							45			32						8						7		3			335
					1						x				0					1								1													1			(ед.).
																																											27
	9 3								4							27								4								27						2

y

0 5 x

4. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями xy 4; x 6; x 2 и осью абсцисс.

Решение.

y

-6 -2

0 x

134

b

Пользуясь формулой VOx f 2(x)dx, находим

a

2 4		2		2 dx				1			2			1		1			16			3
VOx			dx 16				16					16										( ед	.).
						2
6 x				6 x				x			6			2		6			3

РАЗДЕЛ 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

8.1. Типовой расчет

Решить дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений. Если указано начальное условие, решить задачу Коши.

Вариант №1

1.4xdx 3ydy 3x2 ydy 2xy2dx.

2.y 3x2 y x2 1 x3 /3;y 0 0.

3.y xln x y .

4.	y		4y
					5y 0; y(0) 2; y (0) 1.
5. а)y 3y 2y x2 ex ;						б)y 3y 2y x2 x 3.
6.	yIV 6y 9y 3x 1.

dx

7x 2y;

7. dt

dy 5x 2y.

dt

Вариант №2

1. x1 y2 y y 1 x2 0.

2.y ycosx sin2x; y 0 1.

3.xy y 1.

4. y 5y 4y 0;	y(0) 0;	y (0) 1.
5. а)y 6y 9y 2x2 e2x ;		б) y 6y 9y 2x2 3x 5.

135

6.	yIV		y 12x 6.
	dx
7.					5x 4y;
	dt
		dy			4x y.
	dt

Вариант №3

1.4 y2 dx ydy x2 ydy.

2.y ycosx sin2x; y 0 3.

3.2xy y ;

4.y 2y 5y 0; y(0) 1; y (0) 2.

5. а) y y 2y e x (2x 1);						б) y y 2y 2x 1.
6.	yIV		2y y 2 3x2 .
	dx
7.					x 2y;
	dt
		dy			6x 5y.
	dt

Вариант №4

1.3 y2 dx ydy x2 ydy.

2.y 4xy 4x3; y 0 1 .

2

3.

xy y x 1.

4.

y

2y

15y

0;

y(0) 1; y (0) 0.

5. а)

y 2y y ex cos

x

;

б)

y 2y y 2x 4.

6.

y 2y 3x2

2

x 4.

dx

7.

3x 2y;

dt

dy

2x y.

dt

136

Вариант №5

1.6xdx 6ydy 2x2 ydy 3xy2dx.

2.y y lnx; y 1 1.

xx

3. tgx y y						1	0.
						sinx
4.	y		10y
					26y 0; y(0) 5; y (0) 1.
5. а)y 2y 10y ex (2cosx sinx); б)								y 2y 10y 7x 21.
6.	yIV y x.

dx

x 2y;

7. dt

dy x 3y.

dt

Вариант №6

1. x3 y2 dx y2 x2 dy 0.

2. y	2	y ex x 1 2; y 0 1.

x1

3.x2 y xy 1.

4.	y			4y				3y 0;
									y(0) 6; y (0) 10.
5. а) y 4y 4y e2x;										б) y 4y 4y x2 6x 4.
6.	y 3y 2y 3x2 2x.
	dx
7.						5x 4y;
	dt
		dy				2x 11y.
	dt

Вариант №7

1. e2x 5 dy ye2xdx 0.

137

2.y 2xy xe x2 sinx; y 0 1.

3.y ctg2x 2y 0.

4.	y			2y				3y
									0; y(0) 6; y (0) 2.
5.	а) y 4y 15y 3ex ;									б) y 4y 15y 3x2 2x 6.
6.	y y 4x2								3x 2.
	dx
7.						x 2y;
	dt
		dy				2x 3y.
	dt

Вариант №8

1.

1 x2

1 y2 1 0.

y y

2.

y

2y

x 1 3;y 0

1

.

x 1

2

3.

x3 y x2 y 1.

4.

y

2y

2y 0; y(0) 0; y

(0) 1.

5.

а)9y 24y 16y cosx;

б) 9y 24y 16y 6x 4.

6.

yIV

2y y 12x2

6x.

dx

7.

5x 4y;

dt

dy

2x 11y.

dt

Вариант №9

1.6xdx 6ydy 3x2 ydy 2xy2dx.

2.y 2xy 2x3; y 1 e 1.

3.tg x y 2y .

4.y 3y 2y 0; y(0) 2; y (0) 3.

5. а)y 4y 20y 5e3x ;

б) y 4y 20y 5x2 11x.

138