1580

x 2 x

з) lim . x x 2

Решение. В данном случае имеем неопределённость вида 1 . Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду, который допускал

бы применение второго замечательного

предела

lim(1

1

)x

e.

x

x

x 2

4

x

x 2

x

x

x

4

x 2

x 2 4

4

1

lim

lim

lim 1

lim 1

x 2

x 2

x x 2

x

x

x

x 2

4

x 2

									4
						1
	lim 1
					x 2
	x
						4
							2		x
		и) lim 1							.
							x
		x 3

	lim	4x
e
	=ex x 2 e 4 .

Решение. Обратим внимание, что в данном случае x 3, поэтому нет необходимости использовать второй замечательный предел, поскольку нет никакой неопределённости и предел может быть вычислен непосредственно.

											2 x						2 3					5 3			125		.
						lim 1										1
																									27
						x 3					x						3					3
	1
к) lim 5		x 1	.
x 1 0
Решение. Прежде всего,									заметим, что если													x		стремится к единице
слева, то	x 1 будет принимать															близкие к нулю отрицательные
значения,	и выражение								1			, очевидно, стремится к .
								x 1
	1					1					1					5			1
Тогда	lim 5			x 1		5	1 0 1				5			0							0.
																			5
	x 1 0

69

4. Исследовать функцию на непрерывность. Установить тип точек разрыва и изобразить график функции в окрестности этих точек.

a) f (x)

x2 3x

.

x

2

4x 3

Решение. Найдём область определения данной аналитической функ-

ции. D( f ):( ;1) (1;3) (3; ). Имеем две точки разрыва:x1

1

и

x2 3. Определим, каков характер разрыва функции в каждой

из

этих точек.

Точка x1 1 является точкой бесконечного разрыва (второго

рода), так как

lim

x2

3x

2

; lim

x2

3x

2

.

0

0

x 1 0 x2 4x 3

x 1 0 x2 4x 3

Точка x2 3 является точкой устранимого разрыва,

так как

lim

x2 3x

lim

x(x 3)

lim

x

3

1,5.

2

x 3 x2 4x 3

x 3 (x 1)(x 3)

x 3 x 1

Окончательный ответ: функция непрерывна при

x ( ;1) (1;3) (3; );

точка x1 1 является точкой бесконечного

разрыва; точка

x2 3 является

точкой

устранимого разрыва.

Изобразим график функции.

y

1,5

0

1

3 x

б) f	x 1,	x 3;
	(x)	x 3.
	3 x,
Решение.	Данная функция составная, не является элементарной.

Найдём ее область определения: D( f ):( ;3) [3; ). Функция мо-

70

жет иметь разрыв только в точке, где меняется ее аналитическое выражение, т.е. в точке x 3. В данной точке имеем

lim	f (x)	lim (x 1) 2; lim		f (x)	lim (3 x) 0.
x 3 0		x 3 0	x 3 0		x 3 0
Таким образом, в			точке x 3	lim f	(x) f (3) lim f (x), т.е.
				x 3 0	x 3 0

функция в точке	x 3 имеет разрыв 1-го рода и непрерывна справа,
скачок функции			2 0			2.
Окончательный ответ:						функция непрерывна приx ( ;3) [3; );
точка x 3 является точкой неустранимого разрыва (1-го рода).
						y
						2			x
							3
						-1

РАЗДЕЛ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

5.1. Типовой расчет

1. Вычислить приращение функции f (x) в точке x0 , соответствующее приращению аргумента x.

2. Найти производные функций.

3. Продифференцировать неявно заданную функцию.

4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически.

5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения.

6. Найти вторую производную функции.

71

7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y f (x) в точке x0 .

8.Найти производную показательно-степенной функции с помощью логарифмического дифференцирования.

9.Исследовать функции и построить схематически их графики.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на от-

резке.

Вариант № 1

1.

f (x) x2 ;

x0

0; x 0,02.

2. а) y

ex

; б) y cos

; в)

y x2 ln x; г)

y arccos

1

.

sinx

ex 2

x3

3. xy3 4xy x2 2 0.

2

;

x 2t

4.

2

.

y t 3t

5. sin460 .

1

6.

y

.

x2 1

7.

y cos3x;

x0

.

8.

y xsin x .

6

8

9. а) y

2x

; б) y

.

2 x2

x2 4

10.y 1 ; 1;3 .

x2

Вариант № 2

1.

f (x) x3 ;

x0 0;

x 0,02.

ex

1

y x2 ln(x 4); г)

y arcsin

1

.

2. а) y

; б)

y cos

x3

; в)

ex e x

x3

3. x2 y3 x2 y x2 1 0.

2

6t;

4.

x 2t

3

.

y 2t 3t

72

5. sin440 .

6.

y

x

.

x2 1

7.

y cos5x;

x0

.

8.

y (cosx)sin x .

6

9. а) y

3x4 1

; б) y

1

.

x3

x2 3

10.

y

1

;

2;5 .

x2 1

Вариант № 3

1. f (x) х+3;

x0

1;

x 0,02.

2. а)

y

ex

e x

; б)

y cos3

; в)

y x3 ln(x2

4x); г)

y arctg

1

.

x

ex e x

x3

3. x2 y3 x2 y x2 y 0.

2

t 3;

4.

x 2t

2

3

4t

.

y t

5. cos440 .

6.

y

x

.

x2 1

7.

y sin

1

x;

x0

.

8.

2

6

y (cosx)x .

9. а) y

x

; б) y

x2 2x 2

.

3 x2

x 1

10.

y

1

;

1;1 .

x2 1

Вариант № 4

1.

f (x) 2 х;

x0 2; x 0,01.

2. а)

y

ex

e x

; б)

y sin3

; в)

y x3 cos(x2

1); г) y arcctg

1

.

x

ex 1

x

73

3. 3x2 y2 x2 y 3x y 0.

2

5t;

4.

x 2t

2

4

4t

1.

y 3t

5. cos610 .

6.

y

x2

.

x2 1

7.

y sin

1

x;

x0

.

4

8.

y (sinx)cosx .

9. а) y

2x3 1

; б) y

1

.

x2

1 x2

10. y

x

;

2;2 .

x2 1

Вариант № 5

1.

f (x) x3

;

x0

0;

x 0,01.

2. а) y

ex

e x

; б)

y ln(cosx); в)

y x2 sin x2; г)

y arccos

.

x

1

ex

3. 3x3y2 2xy 3x y 4 0.

3

t

2

;

4.

x 2t

4

3

t

.

y 3t

5. cos890 .

6.

y

x 1

.

x2

7. y tg

1

x;

x0 .

4

8.

y (sinx)ln x .

9. а) y

2 x

; б) y

x2 1

.

x3

1

x

10. y x

2

1

1

;

; 2

.

x

2

2

74

Вариант № 6

1.

f (x)

1

; x

1;

x 0,01.

x

0

x 3

2. а) y x2ex; б)

y e

.

y

; в)

y

; г)

x

cosx

3. x3y 3xy2 3x2 y 0.

x3

4. x 2cos2t;

y tsin 2t.

5. 5

.

34

x

6.

y 3sin

.

4

7. y x3 x;

x0 2.

8.

y xx2 .

9. а) y

x2

; б) y

3 2x

.

x 2

(x 2)2

10.

y cos2x;

;

3

.

2

2

Вариант № 7

1.

f (x)

1

;

x0

1; x 0,01.

x2

x 1

2. а) y xe3x; б)

y 2

.

y

; в)

y

; г)

x

sinx

x3 1

3. 3x3y 3xy2 3x

x 2tcost;

4. 2

y t sint.

5. 5240.

6. y 4cos x.

4

7.y x2 3x 2;

8.y xx .

2y2 xy 0.

x0 2.

	9. а) y	x	; б) y 2x	1	.
		x2 2
				x2

75

10.y sin2x; ; 3 .

2 2

Вариант № 8

1. f (x)

1

;

x0

0;

x 0,01.

x3

1

2. а) y x2e3x ; б) y

x 1

; в) y

; г) y 2

x

.

tgx

x2 1

3. x3y2 6xy2 3x2 xy 0.

x 2t cost;

4.

y t2 sin2t.

5. 3

.

66

3

6. y

tg4x.

16

7. y x2 3x 2;

x0 2.

8. y x5x .

3

x2

9. а) y

; б) y

.

2x2 1

x 2

10. y tg

x

;

;

.

2

2

2

Вариант № 9

1.

f (x)

1

; x0

1; x 0,1.

x3

1

2. а) y x3e x ; б)

x 1

y

; в)

y

; г)

y 2

x2

.

ctgx

3. 2x2 y3 xy2 3x2 6xy 0.

x2 2x

x t cos2t;

4.

y t2 sin2t.

5. 3

.

26

5

6.

y

ctg4x.

16

76

7. y x2 5x 6;

x0 1.

8.

y (3x)x .

1

12x

9. а) y 2x2

; б) y

.

9 x2

x

x

3

10.

y ctg

;

;

.

2

2

2

Вариант № 10

1.

f (x)

1

;

x0 2;

x 0,1.

x2

x2 1

2. а)

y x2e2 x ; б)

y 3

; в) y

; г)

y 2(1 x2 ) .

cosx

x2 1

3. 4xy3 2xy2 x2 6xy x 0.

4. x t 2sin 2t;

y 2t tcos2t.

5. 4

.

15

6.

y ln(sin x).

7. y x2 5x 6;

x0 1.

8.

y (3x)2x .

9. а)

y x

2

8

; б) y

x3 4

.

x

x2

10.

y sin

x

;

;

.

2

2

2

Вариант № 11

1.

f (x) x2 ;

x0 0;

x 0,02.

1

ex

1

; в) y x2 ln(x 4); г)

y arcsin

.

2. а)

y

; б) y cos x

3

3

ex

e x

x

3. xy3 4xy x2 2 0.

2

6t;

x 2t

4.

3

.

y 2t 3t

77

5. sin 460.

x

6. y x2 1 .

7.

y cos3x;

x0

.

6

8.

y (cosx)sin x .

9. а) y

x2

; б) y

x

.

x2 1

x2 1

10. y

1

;

2;5 .

x

2

1

Вариант № 12

1. f (x)

1

; x0 1;

x 0,1.

x2

2. а) y

ex

e x

y x3 cos(x2

1); г)

1

y sin3 x ; в)

y arcctg

; б)

.

e

x

1

x

3. x2 y3 x2 y x2 y 0.

x 2t2 5t;

4.

y 3t2 4t4 1.

5. cos440 .

	6.	y		x2					.
			x	2		1
	7. y sin					1	x		;			x0			.
						2							6
	8.	y (sinx)cos x .														3x
	9. а) y				x2 1						; б) y						.
																4 x2
							x
	10.	y				x				;		2;2 .
				x		2
							1

Вариант № 13

1. f (x) x3 ; x0 1; x 0,01.

78