1580

							Вариант №19																	Вариант №20
				2		3	4		5												1			1	2	2
1.					1 1 1				2		;					1.						5		4 3 3						;
				3		4	5		6													2		1	6	7
				1		2	3		3													8		1	7	2
	3x 4y 3z 2;																4x 3y 6z 8;
2. 4x 8y 5z 1;																2. 5x 8y z 2;
	x y 4z 2;																x y z 0;
	2x y z 2;																4x 3y 5z 1;
3. x y 3z 1;																3. x y z 2;
																						2x 2y 2z 5;
	4x 2y 4z 2;
	3 1						4						3 2		1		1							3		2					2	1	4
																								3
4. 2 3							4 X 1 0								4 .	4. 2										1 X 3 7							1 .
							3							2 2								3
	1 2														3									3 4							2 3		1
							Вариант №21																	Вариант №22
					3	3	2	2													1		2	2		3
1.					4 4		5 5						;			1.					4 2 1					7		;
					1	1	2		1												6		6	5		1
					1	2	2		2												2		3	5		1
	4x 2y z 3;																2x y 2z 8;
2. 2x 6y z 5;																2. 3x y z 2;
																						4x y 2z 6;
	x y 7z 12;
	3x y z 7;																3x 2y 8;
3. 4x 2y z 3;																3. 6x 3y z 2;
																						4x y z 11;
	x y 5z 1;
	3 2						1						2 1		2		3							2		4					3 3		1
																								11
4. 2 2							0 X 3 3								6 .	4. 2										2 X 3 2							4 .
						1	4							2 1																		2
	1														4		11							2 1							1		6

9

							Вариант №23													Вариант №24
				2		2	3	3										3	2	7	1
1.				3		3	2 2					;			1.			5 1 4 2				;
				5		5	1	1										4	3	1	1
				2		3	2	2										2	3	6	8
	3x y 4z 1;															3x y 4z 2;
2. 2x y z 5;															2. x y z 4;
	4x 3y 2z 3;															2x 3y z 0;
	2x 3y 7z 2;															x y z 3;
3. x y 4z 0;															3. 4x y 7z 11;
																			3x y 2z 4;
	3x 3y z 2;
					2		4	3			4 1			4					2	3 1		1		1	2
							2						1
4. X 1								1 2						6 .	4. X 1					3 4 3 1					0 .
						2																	3 4
							3 3				2 2			0					2	7 1					1
							Вариант №25
					3	1	1	2
1.					4	7	4	2		;
					3	2	1	4
					2	1	3	1

x 3y z 4;

2.3x y 4z 1;3x 4y z 2;

2x 3y 4z 1;

3.x y z 7;3x y 3z 2;

3		2	3		4 2			1
		0					3
4. 1			2 X 3					3 .
	3	1	2			2	3	7

10

1.2.Пример выполнения типового расчета

1.Выполнить линейные преобразования, найти определитель:

	2	1	3	1
	1	2	2	3	.
	1	3	1	4
	2	2	3	1

Решение. Получаем нули в первом столбце определителя, используя простейшие свойства определителя. Прибавим к третьей строке определителя вторую строку, умноженную на (-1), получим

	2	1	3	1		2	1	3	1
	1	2	2	3	=	1	2	2	3	=
	1	3	1	4		0	1	1	1
	2	2	3	1		2	2	3	1

Теперь умножим вторую строку на (-2), прибавим к первой и четвертой строкам:

0 3 1 7

1 2 2 3

= =

0 1 1 1

0 2 1 5

Вычисляем определитель, раскладывая по первому столбцу:

1 1 2 1	3		1		7			4	1	8
	1		1		1			0	1	0
	2		1		5			3	1	6

Делаем разложение по второй строке:

11

1 1 2 2	4	8	4 6 3 8 24 24 0.
	3	6
Ответ: 0.

2.Решить систему методом Крамера.

x 3y z 0;

2x y z 4;3x y z 1.

Решение. Находим определитель системы:

det A	1	3	1				3	4	0
	2	1	1				2	1	1
	3	1	1				5	0	0

Делаем разложение по третьей строке:

5 1 3 1	4	0	5 4 1 1 0 20 0
	1	1

Система крамеровская.

Ищем вспомогательные определители:

	0	3	1				0	3	1
x	4	1	1				4	1	1
	1	1	1				3	0	0

Делаем разложение по третьей строке:

3 1		3	1		x	12
3 1		1	1	3 3 1 3 4 12 x				.
						20

12

y	1	0	1				3	4	0
	2	4	1				2	4	1
	3	1	1				5	3	0

Делаем разложение по третьему столбцу:

2 3		3	4					y	11
1 1				9 20 11 y							.
		5	3					y
									20
			1		3	0
			z 2		1	4

3 1 1

Прибавим ко второму столбцу третий, умноженный на (-1). Затем первую строку определителя прибавим ко второй строке:

	1	3	0		1	3	0
=	2	3	4		3	0	4
	3	0	1		3	0	1

Делаем разложение по второму столбцу

	1 2			3	4																								z	45
3 1				3	1			3 3 12 45 z																								.
																														20
Проверка:								12									11						45
					1)							3															0	верно;
							20							20								20
					2) 2					12								11						45			4	верно;
																						20
							20							20
					3) 3				12							11						45			1 верно.
																						20
							20							20
Ответ: x	12	;	y		11	;	z					45			.
					20
20							20

3. Решить систему методом Гаусса.

13

x 3y z 0;

2x y z 4;

3x y z 1.

Решение. Выпишем матрицу системы и приведём её к треугольному виду:

2 1			3	1	0 3					1		3	1	0
			1	1				~ 2				5	3
	2				4					0				4 ~
		3 1		1	1						0	10	2	1

1		3	1	0
		5	3	4
~ 0					.
	0	0	4	9

Выписываем систему по получившейся матрице:

x 3y z 0		9		45
5y 3z 4		z				.
4z 9		4		20

Подставляем z во второе уравнение и находим y:

5y 345 4;

20
5y			55		;
		20
y	55			11		.
	5 20
		20

Подставляем в первое уравнение z и y:

x 311 45 0; 20 20

14

x 12. 20

Ответ: x 12; y 11; z 45. 20 20 20

4. Решить матричное уравнение

1		3	1		2		3 1
		1
X 2			1 0				1 2
	3 1		1			3	3 2

A B

Решение. Уравнение можно записать и решить в матричном виде:

XA B;

X A A 1 B A 1;

X A A 1 B A 1; X E B A 1;

X B A 1 формула для решения.

Найдём A 1.

			1	3	1
A			2	1	1	20 0 A 1 существует.
			3	1	1

Ищем алгебраические дополнения:

	2			1	1		0	;	A	2		1		5;	A		2	1			5;
A11 1
				1	1				12	3		1			13		3	1
A		3		1		4;			A		1	1			A23		1	3		10;
														2;
21		1		1					22		3	1					3	1

15

A	3	1	4;	A32	1	1	3;	A	1	3	5.
31	1	1			2	1		33	2	1

Итак, найдена матрица алгебраических дополнений:

~	0		5	5
			2	10
A 4					.
		4	3	5

Транспонируем ее, затем находим A 1:

										0			4			4
~T		0	4	4									20			20
							1			5			2		3
A	5		2	3 ;		A													.
													20			20
		5 10		5				20
								5					10 5
										20			20			20

Теперь вычислим X B A 1:

					0				4			4					10					24		6
2	3 1								20	20							20					20		20
					5
									2			3							5			22		13	.
X 0	1 2
			20						20										20			20		20
													20
3	3 2				5				10				5			5						38		7
					20				20			20					20					20		20
Теперь нужно подставить найденную матрицу X в исходное
уравнение, перемножить матрицы A												X , получить B (для проверки).

	10					24		6
	20					20		20
Ответ: X			5			22		13	.
						20		20
	20
	5					38		7
	20					20		20

16

РАЗДЕЛ 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

2.1. Типовой расчет

1. Написать разложение вектора

x

по векторам

p

,

q

,

r

.

2. Коллинеарны ли векторы

c1 и

c

2,

построенные по векторам

a

и

b

?

3. Найти косинус угла между векторами

AB

и

AC

.

4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на

векторах

a

и

.

b

5. Компланарны ли векторы

a

,

b

и

c

?

6. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках A1, A2 , A3,

A4

и его высоту, опущенную из вершины A4

на грань A1A2A3 .

Вариант №1

1.

x

2,4,7 ;

p

0,1,2 ;

q

1,0,1 ;

r

1,2,4 .

2.

a

1, 2,3 ;

3,0, 1 ;

c1 2

a

4

;

c

2

a

3

.

b

b

b

3.

A 1, 2,3 ;B 0, 1,2 ;C 3, 4,5 .

4.

a

p

q

; b 3

p

q

p

q

pq

2

;

1;

2;

.

6

5.

a

2,3,1 ;

1,0, 1 ;

c

2,2,2 .

b

6.

A1 1,3,6 ; A2 2,2,1 ; A3 1,0,1; A4 4,6, 3 .

Вариант №2

1.

x

6,12, 1 ;

p

1,3,0 ;

q

2, 1,1 ;

r

0, 1,2 .

2.

a

1,0,1 ;

2,3,5 ;

c1

a

2

;

c

2

3

a

.

b

b

b

3.

A 0, 3,6 ;B 12, 3, 3 ;C 9, 3, 6 .

4.

a

3

p

2

q

; b

p

2

q

;

p

4;

q

1;

pq

.

4

5.

a

3,2,1 ;

2,3,4 ;

c

3,1, 1 .

b

6.

A1 4,2,6 ; A2 2, 3,0 ;

A3 10,5,8 ;

A4 5,2, 4 .

17

Вариант №3

1.

x

1, 4,4 ;

p

2,1, 1 ;

q

0,3,2 ;

r

1, 1,1.

2.

a

2,4,1 ;

1, 2,7 ;

c1 5

a

3

;

с

2 2

a

.

b

b

b

3.

A 3,3, 1 ;B 5,5, 2 ;C 4,1,1 .

4.

1

a

p

3

q

; b

p

2

q

;

p

;

q

1;

pq

.

5

2

5.

a

1,5,2 ;

b

1,1, 1 ;

c

1,1,1 .

6.

A1 7,2,4 ; A2 7, 1, 2 ;

A3 3,3,1 ; A4 4,2,1 .

Вариант№4

1.

x

9,5,5 ;

p

4,1,1 ;

q

2,0, 3 ;

r

1,2,1.

2.

a

1,2, 3 ;

2, 1, 1;

c1

4

a

3

;

c

2 8

a

.

b

b

b

3.

A 1,2, 3 ;B 3,4, 6 ;C 1,1, 1 .

4.

1

a

p

q

; b

p

q

p

q

pq

3

2

5

;

4;

;

.

2

6

5.

a

1, 1, 3 ;

b

3,2,1 ;

c

2,3,4 .

6.

A1 2,1,4 ; A2 1,5, 2 ;

A3 7, 3,2 ;

A4 6, 3,6 .

Вариант №5

1.

x

5, 5,5 ;

p

2,0,1 ;

q

1,3, 1 ;

r

0,4,1.

2.a 3,5,4 ; b 5,9,7 ; c1 2a b; c2 3a 2b.

3.A 4, 2,0 ;B 1, 2,4 ;C 3, 2,1 .

4.

3

a

p

2

q

; b 2

p

q

;

p

2;

q

3;

pq

.

4

5.

a

3,3,1 ;

1, 2,1 ;

c

1,1,1 .

b

6.

A1 1, 5,2 ;

A2 6,0, 3 ; A3 3,6, 3 ;

A4 10,6,7 .

Вариант №6

1.

x

13,2,7 ;

p

5,1,0 ;

q

2, 1,3 ;

r

1,0, 1.

2.

a

1,4, 2 ;

1,1, 1;

c1

a

;

c

4

a

2

.

b

b

2

b

18