1835

5. tg2xdx (	1		1)dx tgx x C .
	2
	cos	x

Лекция №2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ И ПО ЧАСТЯМ

Первое правило подстановки заключается во внесении множителя под знак дифференциала и основано на следующей теореме:

Т е о р е м а. Если функция F(u) является первообразной для функции f(u), а u (x) – дифференцируемая функция от x, то имеет место цепочка равенств:

f ( (x)) (x)dx f ( (x))d (x)

f (u)du F(u) C F( (x)) C.

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о

Равенство (1) проверяем непосредственно дифференцированием:

(F( (x))) F (u) (x) f (u) (x) f ( (x)) (x), что и требовалось доказать (то есть производная от интеграла равна подынтегральной функции).

Для практического использования равенства (1) нужно уметь преобразовывать дифференциал, эти преобразования носят название микроинтегрирования.

df (x) f (x)dx;

(2)

dc 0,

d(u v) du dv,

(3)

d(cu) cdu,

d(uv) udv vdu.

Система уравнений (3) представляет собой свойства дифференциала. Из формул (2) и (3) имеем следующие преобразования дифференциала:

10. dx d(x a) 1 d(ax), a const; dx 1 d(ax b).

a a

2

0

. xdx

1

d

(x

2

), x

2

dx

1

d(x

3

) и т. д.

2

3

1

1

1

xdx

d

(ax

2

)

d(ax

2

b),

x

n

dx

d(ax

n 1

b).

2a

(n 1)a

dx

2a

30.

dln

x

.

x

40. exdx dex.

50. sin xdx d cos x;

cos xdx d sin x.

60.

dx

dtgx;

dx

dctgx.

sin2

x

cos2 x

70.

dx

d(arctgx);

dx

d(arcsinx) и так далее.

1 x2

1 x2

Примеры:

1

1

1

1. cos5xdx

cos5xd(5x)

cosud(u)

sin(5x) C .

10

5

5

5

2.

dx

d(x 2)

du

lnu C ln(x 2) C .

x 2

x 2

u

3/2

1

1

1

1

1 u

3.

(4 3x)

2

d(4 3x)

u2du

C.

4 3xdx

3 3/2

3

50

3

4. tgxdx

sin xdx

d cosx

du

ln

u

C

cos x

cos x

u

lncosx C .

5.

ctgxdx

d sin x

ln

sin x

C .

sin x

tg xdx

ln

cos

x

C ,

ctg xdx

ln

sin

x

C .

dx

dx

60

dtgx

6.

cos2 x

ln

tgx

C.

sin xcosx

sin xcosx

tgx

cos2 x

dx

x

dx

dx

2cos

2 x

dtg

7.

cosecxdx

2

2

x

x

x

sinx

x

2sin

cos

tg

tg

2

2

2

x

2

ln

tg

C.

2

dx

dx

x

8. secxdx

C.

ln

tg(

)

cosx

sin(x

)

2

4

2

dx

ln

tg

x

C ,

sin

x

2

dx

x

)

C ln

tg (

x

)

C .

ln

tg (

cos

x

2

4

4

2

Второе правило подстановки основано на следующей цепочке равенств:

x (t) t (x)
f (x)dx			f ( (t)) (t)dt
	dx (t)dt
g(t)dt G(t) C G( (x)) C.				(4)

Д о к а з а т е л ь с т в о

Цепочку проверим дифференцированием конечного результата:

1

1

G( (x))

(t)

f (x).

G

(t) (x) g

f ( (t)) (t)

Примеры:

(t)

(t)

t x t2 2

(t2 2)2tdt

xdx

1.

x 2

(t2

2)dt

2

t

x 2

dx 2tdt

2

2

3

2

3

1

2t

dt

4dt

t

4t C

(x 2)2 4(x 2)2 C .

3

3

x sint t arcsin x

2

1 cos2t

2

2.

1 x

dx

dx costdt

cos

tdt

dt

2

t 1sin2t C 1 arcsin x 1sin(2arcsin x) C 1 arcsin x

2

4

2

4

2

1 x1 x2 C,

2

так как sint x; sin 2t 2sintcost 2sint1 sin2 t 2x1 x2 .

							x tg arctgx								1			d					1			d
	dx															cos2							cos2
3.									1
				3				dx				d							3				1
										2
	(1 x	2	)	2					cos						2				2
																									3
															(1 tg		)							cos

cos d sin C sin(arctgx) C;

tg x;

sin ?

1

1 ctg2 sin

tg

x

;

sin2

1 tg2

1 x2

dx

x

C.

3

1 x2

(1 x2)2

Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям основан на следующей формуле:

udv uv vdu,

(5)

где функции u и v – дифференцируемы.

Д о к а з а т е л ь с т в о формулы (5). В силу d(uv) udv vdu, интегрируя,

получаем d(uv) udv vdu (5).

Формула (5) применяется для отыскания первообразных

функций ln x, arcsin x, arctgx		и интегралов					от	произведения
разноимённых функций. Чаще всего это:
P(x)ekxdx, P(x)coskxdx, P(x)sinkxdx, P(x)(ln x)k dx,								где P(x) –
многочлен, k R.
Примеры:				dx
1. arcsin xdx	u arcsin x du
			1 x2
	dv dx v x

xarcsinx

xdx

xarcsinx

1

(1 x2)

1

d(1 x2)

2

2

1 x2

1

1 (1 x2)

2

xarcsinx

C xarcsinx

1 x2

C.

2

1

2

u x du dx

2. xe2xdx

2x

2x

1

2x

dv e

dx

v e

dx

e

1

1

1

1

2

xe

2x

e

2x

dx

xe

2x

e

2x

C.

4

2

2

2

x

2

du 2xdx

3. x2

u

sin xdx

dv sin xdx v cosx

x2 cosx 2 xcosdx x2 cosx 2(xsin x cosx) C.

dx

u ln x

du

3

x

2 ln xdx

4. x

3

3

5

x

2

dv x 2dx v x 2

5/2

2

5

2

5

1

2

5

2

2

5

x 2 ln x

x 2

dx

x 2 ln x

(

)

x

2 C .

5

x

5

5

5

Лекция №3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ, ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА

Во множестве R не выполняются операции 2k

, loga при a 0,

a

и нет корней квадратного уравнения с

D 0.

Чтобы устранить эти

недостатки, множество R дополняют мнимой единицей i.

Определение. Мнимой единицей называют символ i ,

обладающий свойством i2 1.

Числа

вида

a bi,

где

a,b R,

называются комплексными.

Множество комплексных чисел обозначают С .

Во множестве С введём арифметические операции:

1) сложение и вычитание (как обратное сложению):

(a1 b1i) (a2 b2i) (a1 a2) (b1 b2)i;

2) умножение

(a1 b1i)(a2 b2i) a1a2 a1b2 i a2b1i b1b2i2

(a1a2 b1b2) (a1b2 a2b1)i;

3)деление – обратно умножению.

a1 b1i

(a1 b1i)(a2 b2i)

(a1a2 b1b2) (b1a2 a1b2)i

.

a2 b2i

(a2 b2i)(a2 b2i)

a2 b2

Пример.

1 2i

2

(1 2i)(2 i)

2

(1 i)

1 2i i

2 i

4 1

1(2 i 4i 2i2) 1 2i 1 3i. 5

Определения:

1.	Пусть z1 a1 b1i, z2 a2 b2i C; z1	z2	a1	a2;b1 b2.
2.	Комплексные числа z a bi и	_		называются
		z a bi

сопряжёнными. Очевидны следующие свойства сопряжённых чисел:

	_
10.		z z a2 b2 R.																								50.	a R						a	a.
20.																									.	60.			n			zn .
		z z						2											z				z	2				z
30.	1																			1		.				70.		z			2a R.
		z z		2						z					z					2										z
	1								1
40.	(		z1		)								z1					.
			z2									z2

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число можно изобразить на координатной плоскости точкой M(a,b).

OM z называется модулем комплексного числа,

OM Ox argz называется аргументом комплексного числа. Аргумент комплексного числа определяется с точностью до

слагаемого 2k , k 0, 1, 2,...

Так как	a	cos ,	b	sin ,
				a cos ;	(1)
				b sin .

Имеем тригонометрическую форму комплексного числа: z a bi (cos isin ).

Чтобы перейти к тригонометрической форме, надо из формул

(1) определить и .

	a2 b2			0;
				(2)
		b
tg			.
		a

Примеры:

Найти тригонометрическую форму комплексных чисел i и 1–i.

1. i a 0; b 1;

										1,				tg			1						.
		a2 b2
														0							2
i cos					isin								.
			2
								2
2. 1 i				a 1,										b 1;
														tg		1					1				или	7	;
	1 1									2,
																1
																					4				4
1 i						2(cos			7			isin			7			).

44

Втригонометрической форме легко выполняются умножение,

деление, возведение в степень и извлечение корня.

Пусть z1 1(cos 1 isin 1); z2 2(cos 2 isin 2).

1. z1z2 1 2[(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2)

i(sin 1 cos 2 sin 2 cos 1)] 1 2 cos( 1 2) isin( 1 2) .

При умножении комплексных чисел их модули умножаются, а

аргументы складываются:

		z z					z	z		;
		1	2				1		2
arg(z1z2) argz1 argz2.

2. Пусть

z1

w z

z

2

w.

z2

1

Вследствие формул (3):

z1

z

z

w

,

w

;

2

1

z2

argz1 argz2

argw.

argw

argz

2

argz .

1

(3)

(4)

При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

3. Пусть w zn, где n N , тогда из формул (3):

w

z

z

...

z

z

n

;

argw argz argz ... argz nargz

имеем формулу де Муавра (Англия, 1707 г.):

(cos ) isin n n(cosn isinn ).

4. Пусть w n

,

n N z wn. В силу (5) имеем

z

w

0;

w

n

z

;

n

z

argz 2k

argw

.

nargw arg z 2k .

n

(5)

(6)

Окончательно имеем формулу извлечения корней n-й степени из комплексного числа:

	n			n		(cos	2k	isin	2k	),	(7)
		(cos isin )
							n
									n
	k 0,1,2,...,n 1 (если		k n 1, значения					углов кратны			2 и

значения nz повторяются).

Примеры:

Вычислить:

		100																											100
	1.	(1 i)						2(cos(											) isin(							))
																									4
																4
	250 cos( 25 ) isin( 25 ) 250 cos25 250 cos 250.
	2. 4			4														cos			2k							isin					2k	, k 0,1,2,3.
			1					cos isin
	Имеем четыре корня:																		4										4
																				3								3
	1	cos					isin							;	2	cos							isin								;
		4						4											4										4
	3	cos				5			isin				5		;	4			cos			7			isin					7		.
		4						4											4										4

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Число

e

определяется

через

n

предел последовательности

1

n

1

xn (1

)

,

то

есть e lim 1

.

Показательную

функцию

n

n

n

действительного аргумента ex

можно тоже определить через предел

x n

ex lim 1

.

n

n

Пусть

z i C, тогда ez

можно определить следующим

образом:

ez

e i e ei , e R,

ei

w C, и под

ei будем

понимать следующий предел:

i n

w ei

lim 1

.

n

n

w				i n
		lim	1
		n		n

lim 1 i n

n n

						n			2		n
				2
											2
lim		1					lim 1
				2					2
			n					n
n							n

n2

2

2n

2

2

2

e0

lim 1

lim e 2n

1.

n

n

2

n

i n

argw limarg 1

limnarg 1 i

limnarg

n

n

n

n

n

n

	arctg
lim		n
	1n
n

0

lim 0 n

1
		2				n2
1										arctgx
		n2						.	( lim		1).
		1							x 0 x
				n2

Итак, w ei	1(cos isin ), получим формулу Эйлера:
	ei cos isin .	(8)
В частности,	e i 1 0.
Окончательно имеем
	e i e (cos isin ).	(9)

(8)

Пусть z (cos isin ) ei ,
z ei .	(10)

Формула (10) даёт нам показательную форму комплексного числа.

Примеры:

1. Вычислить e 2 i cos( ) isin( ) i. 2 2

e i cos isin 1.

2. Представить число (1 i) в показательной форме:

i

1 i

2

cos

isin

2e 4 .

4

4

Логарифмы и тригонометрические функции комплексных чисел

Пусть w Lnz ew

z. Обозначим w u iv,

z (cos isin ). eu iv

x iy eu(cosv isinv) (cos isin ).

Тогда eu ; v 2k . Имеем:

Lnz ln i( 2k );

Lnz ln

z

i(argz 2k ).

(11)

Пример. Ln( 1) ln1 i( 2k ) (2k 1) i.

Из формулы Эйлера имеем:

i

cos isin ,

R,

e

i

cos isin ,

e

ei e i

ei e

i

cos

; sin

.

(12)

2

2i

Формулы (12) дают связь между тригонометрическими функциями действительного аргумента и экспонентой мнимого аргумента и могут служить для определения тригонометрических функций комплексного аргумента.

	eiz	e	iz		eiz e	iz
cosz				; sin z			.	(13)
		2			2i

Лекция №4. МНОГОЧЛЕНЫ,