1835

. В некоторых случаях для интегрирования тригонометрических выражений весьма полезны тригонометрические тождества.

1.cos2 1 cos2 . 2

2.sin2 1 cos2 .

2

3.cos cos cos( ) cos( ).

2

4. sin sin cos( ) cos( ) . 2

5. sin cos sin( ) sin( ) . 2

Примеры:

				1.		sin2 3xdx			1 cos6x					dx	x		1	cos6xdx
									2
		x			1									2		2
						sin6x C .
2				12						1									1
				2.		cosxcos3xdx							cos2x cos4x dx							cos2xdx
									2									2
	1			cos4xdx			1	sin2x			1	sin4x C.
2						4			8

III. Отметим три рекуррентные формулы, позволяющие брать интегралы от степеней тригонометрических функций.

1.

cospxsinq xdx

1

cosp 1 xsinq 1 x

p q

q 1

cospxsinq 2 xdx,

p,q 0.

p q

p 1

1

2.

sinp xdx

cosxsinp 1 x

sinp 2 xdx.

p

p

3.

cos

p

xdx

1

cos

p 1

xsin x

p 1

cos

p 2

xdx.

p

p

Примеры:

1

2

2

3

3

2

2

1.

cos

xsin

xdx

cos

xsin

x

cos

xsin xdx

5

5

	1	cos	3	xsin			2	x	2		cos			2	xd cosx					1	cos	3	xsin	2		x		2 cos3 x					C .
	5								5											5								5		3
											1							2						1
					3											2															2
		2. sin				xdx							cosxsin				x		sin xdx								cosxsin					x
																		3
											3													3

2cosx C.

3

Общие замечания по методам интегрирования

Позже будет доказано: всякая непрерывная функция имеет первообразную, причём первообразная непрерывной функции является функцией дифференцируемой. Отсюда все элементарные функции имеют первообразные, но не все из этих первообразных можно выразить через элементарные функции, то есть операция интегрирования выводит функции за пределы класса элементарных функций.

Если первообразная не выражается через элементарные функции, то интеграл называется «неберущимся».

Примеры «неберущихся» интегралов:

1.		dx	.	2.			sin x	dx.
		ln x					x
3.	sin x2 dx и 4.					cos x2 dx			– интегралы Френеля.
5.	R x,				dx	, где P(x)			– многочлен третьей степени или
				P(x)

четвёртой – называются эллиптическими интегралами. «Неберущиеся» интегралы дают новый класс функций,

называемый классом неэлементарных функций. Примеры неэлементарных функций:

S(x)

sin x

dx

– интегральный синус;

x

2

x

2

(x)

e

dx –

функция Лапласа;

d

E1 ,k

– эллиптическая функция первого

1 k2 sin2

рода;

E2 ,k

1 k2 sin2

d – эллиптическая функция второго

рода.

Лекция №6. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ «ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ».

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА

1. Задача о пройденном пути.
Пусть в течение времени от t0 до tкон (рис. 1)							тело
двигалось с переменной			скоростью	v v(t).	Определить		путь,
пройденный телом.
	t1		t2	tn	t
	1	2
				n
			Рис. 1
Разбиваем временной промежуток на n частичных промежутков
с длинами t1, t2,..., tn			и, считая,	что на	каждом	частичном
промежутке тело двигалось равномерно со скоростью v i						в какой-то
выбранный момент i		из промежутка		ti , найдём приближенное
значение пройденного пути:
S v 1 t1 v 2 t2			... v n tn;

n

Sv i ti .

i1

Переходя к пределу при n и max ti 0, мы найдём точное значение пройденного пути.

	n
S lim	v i ti .	(1)
n

0 i 1

2.Задача о площади криволинейной трапеции.

Разбиваем отрезок a,b на n произвольных отрезков с длинамиx1, x2,..., xn (рис. 2) и, выбирая на каждом промежуточном отрезкеxi точку i , заменим трапецию ступенчатой фигурой:

Sст.ф f 1 x1 f 2 x2 ... f n xn ;

n

Иначе, Sст.ф f i xi Sкр.тр . i 1

Переходя к пределу при n и max xi 0, находим точное значение Sкр.тр :

Sкр.тр	n
	lim f i xi .	(2)
	n i 1
	0

y			y f x
0	a	x1	x2	xn b	x
			Рис. 2

Вывод. Обе задачи приводят к необходимости вычислять пределы сумм вполне определённого (одинакового) вида, такие пределы называются определёнными интегралами.

Определение интеграла

Пусть на a,b задана функция f (x), определённая во всех точках отрезка. Проделаем следующие операции:

1.Разбиваем a,b на n промежуточных частей точками (рис. 3)

x0 a x1 x2 ... xn 1 xn b.

	1		2	n	x
	x0 a	x1	x2	xп 1	b xп
			Рис. 3
Длины промежуточных отрезков обозначим xi .
max xi			xi xi	xi 1,
	назовём параметром разбиения.
2. На каждом промежуточном отрезке выбираем произвольную
точку i	и составляем сумму (её называют интегральной):

n

f i xi .

i1

3. Переходим к пределу при n и 0. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора промежуточных точек, то он называется определённым интегралом.

b		n
Def : f (x)dx lim		f i xi ,	(3)
a	n i 1
	0

концы отрезка a и b называются пределами интегрирования. Из определения следует:

1) определённый интеграл есть число, которое ставится в соответствие функции f (x) и отрезку a,b , следовательно, обозначение аргумента под знаком S несущественно, то есть

b b b

	f (x)dx	f (t)dt	f (u)du ...;
a	a	a
	a

2) f (x)dx 0;

a

b a

3)f (x)dx f (x)dx.

ab

Те о р е м а (достаточное условие существования

определённого интеграла). Если функция f то она интегрируема на этом отрезке, то интегральной суммы σ и этот предел не разбиения отрезка a,b на части, ни от доказательства).

(x) непрерывна на a,b , есть существует предел зависит ни от способа выбора точек i (без

y

0

a

x1

x2

b x

x1, x2 – точки разрыва I рода; функция интегрируема

Рис. 4

y

0	a	x1	b	x
x1 –	точка	разрыва	II	рода;

функция неограниченна на a,b и не является интегрируемой

Рис. 5

Кроме непрерывных функций интегрируемы будут функции кусочно-непрерывные на отрезке a,b (рис. 4, 5).

Определение. Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на a,b , если на этом отрезке она непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.

Свойства определённого интеграла.

10. Свойства линейности:

b b b

a) f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx;

a a a

bb

b)kf (x)dx k f (x)dx.

aa

До к а з а т е л ь с т в о

				b	b
Пусть (x) f (x) g(x).				f (x) g(x) dx (x)dx
				a	a
n				n
lim i xi			lim ( f i		g i ) xi
n i 1			n i 1
0			0
	n	xi	n		n	xi
lim f i			g i xi		lim f i
n i 1			i 1		n i 1
0					0
n		b	b
lim g i xi		f (x)dx g(x)dx , что и требовалось доказать.
n i 1		a	a
0
20. Для a,b,c имеет место равенство
b	c		b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx.
a	a		c

До к а з а т е л ь с т в о

1.Пусть a c b и функция f (x) интегрируема на a,b (рис. 6).

	i		c		x
x0 a	x1	xp 1	xp	xp 1	b xn
		Рис. 6

Возьмём разбиение a,b , включив в него точку c :

x0 a x1

x2 ... xp 1 xp c xp 1 ... xn

b.

n

p

xi

n

Тогда

f i

xi f i

f i xi ,

переходя к

i 1

i 1

i p 1

пределу при p и n и имеем

n

xi

p

xi

n p

*

*, или

lim f i

lim f i

lim f

i

xi

n i 1

n i 1

n p i 1

0

0

0

b

c

b

f (x)dx f (x)dx f (x)dx.

a

a

c

2. Пусть a b c, тогда по первой части доказательства имеем

c

b

c

b

c

f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx

a

a

b

a

a

c

c

b

f (x)dx

f (x)dx

f (x)dx ,

что и требовалось доказать.

b

a

c

30. Если

f (x)

и

g(x) интегрируемы на a,b

и для x a,b

b

b

f (x) g(x)

f (x)dx g(x)dx.

aa

До к а з а т е л ь с т в о

Возьмём произвольное разбиение a,b , тогда для него

	n	n	p	p
	f i xi	g i xi	lim f i xi	lim g i xi
	i 1	i 1	n i 1	n i 1
			0	0
	b	b
	f (x)dx	g(x)dx , что и требовалось доказать.
	a	a	непрерывной на a,b , a,b такое,
	40. Для функции f (x),

что имеет место равенство

b

f (x)dx f ( )(b a).

a

Это свойство называется теоремой о среднем значении (рис. 7).

y

y f (x)

f )

Д о к а з а т е л ь с т в о

Функция f (x) достигает на a,b свой min и max.
Пусть m min f (x) , M max f (x).		Тогда для x a,b
b	b	b
m f (x) M . По свойству 30 mdx f (x)dx M dx .
a	a	a

b

b

p

kdx k dx k

lim 1 xi k(b a) , где

k const.

a

a

n i 1

0

b

Итак, m(b a) f (x)dx M(b a),

b

a

1

или

m

f (x)dx M .

b a

a

M,m, m c M,

По

свойству непрерывных

функций для

a,b такое, что

f ( ) c, тогда

1

b

b

f (x)dx f ( )

f (x)dx f ( )(b a).

b a a

a

a,b функции f (x) имеет место

50.

Для интегрируемой

на

b

b

следующая формула:

f (x)dx

f (x)

dx.

aa

До к а з а т е л ь с т в о

Так как x a,b при a b имеем

f (x)

f (x)

f (x)

, то

b

b

b

b

b

f (x)

dx f (x)dx

f (x)

dx

f (x)dx

f (x)

dx.

a

a

a

a

a

Лекция №7. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПРЕДЕЛЕННЫМ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛАМИ, ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Пусть функция f (x) непрерывна на a,b она интегрируема на

a,x , где x a,b , то есть существуют интегралы

xdef

f (t)dt (x).

					a
Т е о р е м а (основная теорема интегрального исчисления).
	x
Функция (x) f (t)dt				является первообразной для функции f (x),
	a
то есть (x) f (x).				Д о к а з а т е л ь с т в о
									(x x) (x)
По определению производной						(x) lim					, но
										x
								x 0
				x x	x			x		x x
(x x) (x)				f (t)dt f (t)dt f (t)dt						f (t)dt
x	x x			a	a			a		x
f (t)dt	f (t)dt f ( ) x , где x,x x .
a	x				f ( ) x
Тогда (x) lim				lim			lim	f ( ) f (x).
					x
	x 0 x			x 0			x

Что и требовалось доказать.

С л е д с т в и е. Всякая непрерывная функция имеет первообразную.

Д о к а з а т е л ь с т в о

b

Действительно, если f (x) – непрерывна на a,b , то f (t)dt

a

x

f (t)dt (x) ,x a,b (x) f (x).

a

Формула Ньютона – Лейбница

	Пусть	F(x) – любая			первообразная функции f (x),					т.е.
							x
		Рассмотрим		функцию		(x) f (t)dt .		(x)	–	тоже
	F (x) f (x).
							a
	первообразная		функции f	(x),	так	как			значит,
							(x) f (x),
	(x) F(x) C (отличаются на С – const). Тогда
				x
				f (t)dt F(x) C.						(1)
				a
	Подставим в равенство (1) вместо x поочередно a и b, получим:
	a
	f (t)dt F(a) C 0 F(a) C C F(a);
	a
	b		b
	f (t)dt F(b) C f (t)dt F(b) F(a).
	a		a
	Вывод.	Если F(x) –		любая первообразная функции f (x), то
	имеет место формула Ньютона – Лейбница:
				b
				f (x)dx F(b) F(a).						( 2)
				a		def
	Условимся		обозначать F(b) F(a) F(x) ba,					тогда	формула
	Ньютона – Лейбница принимает более выразительный вид:
				b
				f (x)dx f (x)dx ba.						(3)

a

Примеры:

			1									1			x5 2			x3 1			2	1		1
		1. (x x x2)dx (x3 2 x2)dx																								.
																5 2
			0									0						3	0		5	3		15
			2						1 2				1			2
		2.	cos3xdx								cos3xd3x				sin3x 0
									3				3
			0								0
	1		3								1	.
		sin		sin0
	3		2								3

Вычисление определенных интегралов