1835

1. Если функции	f (M), g(M)	непрерывны			в т.	M0, то и
функции f (M) g(M),	f (M) g(M),		f (M)		(при	g(M0) 0)
			g(M)
также непрерывны в т. M0.
2. Если функция u f (x1,x2, ,xn), а переменные xi						являются в
свою очередь функциями новых переменных:

x1 1(t1,t2, ,tk ); x2 2(t1,t2, ,tk ); xn n(t1,t2, ,tk ),

то функция f называется сложной функцией аргументов t1,t2, ,tk .

Если функции

,

2

, ,

n

непрерывны в

т. M

0

t0

,t0

, ,t0

,

то

1

1

2

k

0 ,

сложная функция u f (x

,x

2

, ,x

n

)

непрерывна в т.

P

x0

,x0, ,x

где x0 t0,t0

1

, ,t0 ,..., x0

0

1

2

0 .

n

, ,t0

, x0

2

t0,t0

n

t

0,t

0, ,t

1

1 1 2

k

2

1 2

k

n

1 2

k

3. Пусть функция u f (M)

непрерывна в т. M0

и

f (M0) 0,

тогда

δ окрестность т.

M0,

в которой функция имеет тот же знак,

что и в т. M0.

4. Функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области, достигает на ней своего наибольшего и наименьшего значений и в случае связности области принимает все значения между своими наибольшим и наименьшим значениями (рис. 1).

Определение. Область G называется связной, если любые две ее точки можно соединить непрерывной кривой (на xOy).

z f x,y

● B

z	z f (x, y),

A

A f (x, y) B.

y

G

x

Рис. 1

		Если в некоторой т. M0				не выполняется условие (3), то точка
M	0	x0,x0, ,x0			называется	точкой разрыва	функции	z f (M).
		1	2	n
Условие (3) может не выполняться в трех случаях:
		1.	z f (M)		определена в M (M0),		но не определена в т.
M0.					f (M), хотя	f (M) определена M (M0).
		2.	Не	lim
				M M0				f (M), но
		3.	z f (M)		определена	в M (M0)	и lim
							M M0

lim f (M) f (M0).

M M0

В частности, функция двух переменных может иметь целые линии разрывов, а функция трех – поверхности разрывов.

Примеры:

1.z x y , область определения – каждая точка плоскости xOy,

xy

z

x y 0 y

						Рис. 2
	за исключением			x		x y 0 – прямая разрыва функции		z
			прямой
	(рис. 2).		xyz
	2. u				,	поверхность разрыва x2 y2 z2	0	–
		x2 y2		z2

прямой круговой конус (рис. 3).

z

y

x

Рис. 3

Лекция №13. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Этот вопрос мы будем решать с полным обоснованием для функции z f (x, y), а результаты переносить на любую функцию u f (x1,x2, ,xn).

Приращения функции полные и частные

Пусть	задана функция z f (x, y),				определенная			на	области
G OXY .	Зафиксируем			в этой области произвольную				т.	M(x, y).
Дадим аргументу x приращение x( x может быть как								0, так и
0), сохраняя y, т.е. перейдем от т. M(x, y)						к т.	P(x x, y), тогда
функция z f (x, y) получит приращение (рис. 1):
			x z f (P) f (M) f (x x, y) f (x, y)						(1)
(см. рис. 1,		x	z P P*).
			1
Аналогично, дадим приращение аргументу y, сохраняя x, т.е.
перейдем от			т. M(x, y)	к т. Q(x, y y), тогда			функция		f (x, y)
получит приращение
			yz f (Q) f (M) f (x, y y) f (x, y)						(2)
(см. рис. 1,		y	z Q Q*).
			1
				z	P*		R*
						Q*
				M1=M*	P1		R1
						Q1
				x	P		R
				M	y	Q
							y
				x
				Рис. 1

Если перейти от т. M(x, y) к т. R(x x, y y), то функция получит приращение

z f (R) f (M) f (x x, y y) f (x, y)

(3)

(см. рис. 1, z R1R*).

Приращения (1) и (2) называются частными приращениями функции z f (x, y), приращение (3) называется полным.

Частные производные и их геометрический смысл

Составим отношения:

xz

f (x x, y) f (x, y)

;

(4)

x

x

yz

f (x, y y) f (x, y)

.

(5)

y

y

Выражение (4) зависит от x, (5)

– от y. Если пределы этих

отношений

при x 0

и y 0,

то эти пределы

называются

частными

производными

функции

z f (x, y) по

x и

y и

обозначаются fx и

fy или

z

и

z

. Итак, по определению:

x

y

z

lim

xz

lim

f (x x, y) f (x, y)

;

(6)

x

x 0 x

x 0

x

z

lim

yz

lim

f (x, y y) f (x, y)

.

(7)

y

y

y 0 y

y 0

Из определения частных производных следует, что для того, чтобы найти частную производную функции z f (x, y) по x (по y), надо продифференцировать эту функцию, считая y (x) постоянной величиной.

Примеры:

z x

4

x

3

y

2

2y

5

z

3

2

2

z

2yx

3

10y

4

1.

;

4x

3x

y

,

.

y

x

2.

z

xy

;

z

y x2 y2 2x2 y

y y2 x2

,

x2 y2

x

x2 y2 2

x2 y2 2

z x x2 y2

y x2 y2 2 .

Геометрический смысл частных производных

Пусть задана фиксированная т. M(x, y) и в этой точке найдены

частные производные

z

и

z

. Проведем через т. M пл. 1 || ZOX и

x

y

2 || ZOY . Плоскости 1

и 2 пересекают поверхность z f (x, y)

по кривым 1 и 2. Из рис. 1 очевидно, что

x z

tg P*M*P ,

y z

tg Q*M*Q ,

x

1

y

1

когда x 0 при фиксированном y

( y 0при фиксированном x),

точка P* (Q*) стремится по кривой 1

( 2) к точке M*,

а значит,

x

z

y z

lim

tg ;

lim

tg ,

x 0 x

y 0 y

где ( ) – угол, образованный касательной,

проведенной в т. M к

кривой 1 ( 2) с осью X (осью Y ). Итак,

z

tg ,

z

tg .

(8)

x

y

Полный дифференциал функции z f (x, y)

Пусть функция	z f (x, y) имеет в т. M(x, y) непрерывные
частные производные	z		и	z	. Рассмотрим полное приращение этой
	x
				y
функции z f (R) f (M) f (x x, y y) f (x, y).
К точке R можно подойти двояко: MPR или MQR.
Идя по пути MQR, имеем: z f (Q) f (M) f (R) f (Q)
f (x x, y y) f (x, y y) f (x, y y) f (x, y) .
На отрезке MQ	x		фиксирована, меняется только y к

отрезку y, y y можно применить формулу Лагранжа:

f (x, y y) f (x, y)

fy x, y, где y, y y ,

поэтому y 1 y, 0 1

1.

Аналогично, на отрезке QR фиксировано значение

y y,

меняется только x, применяя к нему формулу Лагранжа, получим:

f (x x, y y) f (x, y y) fx , y y x,

где x,x x x 2 x,

0 2 1.

Итак, z fx x 2 x, y y x fy x, y 1 y y.

Обозначим через x, y fx x 2 x, y y fx x, y ,

x, y fy x, y 1 y fy x, y , тогда

z x, y fx x, y x x, y fy x, y y или

z fx x, y x fy x, y y x, y x x, y y.

(9)

Поскольку

fx x, y

и

fy x,y непрерывны в т. M(x, y), то при

x 0 и y 0 fx x 2 x, y y fx x, y , а

fy x, y 1 y fy x, y ,

отсюда x, y 0

и x, y 0, т.е.

при

x 0

и

y 0

и

являются

бесконечно

малыми,

обозначим их 1 и 2:

z

z

z

x

y 1

2 y.

(10)

x

y

Будем учитывать, что для функции одной действительной

переменной, например, u u(t):

u u (t) t t и главную часть

приращения называют дифференциалом, т.е.

du u (t) t.

Главная

часть приращения функции

z f (x, y) состоит из двух слагаемых

z

x

z

y,

ее

называют

полным

дифференциалом функции

и

x

y

обозначают через dz:

def z

z

dz

x

y.

(11)

x

y

Как и для функции одной переменной, принято приращения аргументов называть дифференциалами аргументов и обозначать через dx и dy, т.е. x dx, y dy. Тогда формула (11) имеет вид:

	def	z		z
	dz		dx		dy.	(12)
		x		y

Пример.

Найти полный дифференциал функции z

x2 y2

.

Находим частные производные:

x y

z 2xy2

(x y) x2 y2

2xy3 x2 y2

xy2(x 2y)

;

x

x y 2

x y 2

x y 2

z 2yx3

(x y) x2 y2

2yx3 x2 y2

y x2(y 2x)

;

y

x y 2

x y 2

x y 2

Отсюда

xy2(x 2y)

y x2(y 2x)

dz

dx

dy.

x y 2

x y 2

Обобщение на случай многих переменных

Понятия, введенные в этом параграфе для функции z f (x, y), определяются аналогично и для функции u f (x1,x2, ,xn).

1. Частные производные.

	u		lim	f (x1,x2, ,xk	xk , ,xn) f (x1,x2, ,xk , ,xn)		, (13)
	xk				xk
			xk 0				x	u
k 1,2, ,n , т.е. функция имеет n частных производных lim
							k		,
					xk 0		xk

которые находятся по обычным правилам вычисления производных функции одного переменного, т.к. частная производная представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной xk при фиксированных значениях остальных переменных. Обозначается fxk или k f .

2. Полный дифференциал.

Полное приращение функции u f (x1,x2, ,xn), когда она имеет непрерывные частные производные по всем аргументам, можно представить в виде:

u f (x1 x1,x2 x2, ,xn xn) f (x1,x2, ,xn)

					n		n
					Ak xk		k xk ,	(14)
		ku			k 1		k 1
где A			,		0, когда x		0.
k		xk		k		k

А полным дифференциалом функции называют главную часть этого приращения, т.е.

u

u

u

n

u

du

dx1

dx2

dxn

dxk .

(15)

x

x

2

x

n

x

k

1

xyz

k 1

Пример. u

.

x y z

yz y z

u

yz x y z xyz

;

x

x y z 2

x y z 2

u

xz x z

;

u

xy x y

;

y

x y z 2

z

x y z 2

yz y z

xz x z

xy x y

du

dx

dy

dz.

x y z 2

x y z 2

x y z 2

Т е о р е м а. Функция u f (x1,x2, ,xn), дифференцируемая в т.M0 x10,x20, ,xn0 , является в этой точке непрерывной.

Д о к а з а т е л ь с т в о Возьмем произвольно

т.M x0 x ,x0		x	, ,x0	x	(M	0	) и докажем,
1	1 2	2	n	n
что lim	f (M) f (M0).
M M0

Действительно, т.к. функция дифференцируема в т. M0, то ее полное приращение будет иметь вид (14):

		n	n
	u f (M) f (M0) Ak xk k xk ,
		k 1	k 1
тогда при M M0, xk 0		u 0, отсюда
lim	f (M) f (M0), т.к. lim	f (M) f (M0) 0, что и
M M0	M M0

требовалось доказать.

Лекция №14. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ

1. Пусть задана функция z f (x, y), причем переменные xи y в свою очередь являются функциями двух аргументов и , т.е. x ( , ), y ( , ).

Т.о., мы задали сложную функцию от аргументов и . Докажем, что если функции и имеют непрерывные частные производные по и , а функция f по x и y, то частные производные сложной функции по и определяются по формулам:

z

f x

f y

;

x

y

z

f

x

(1)

f

y

.

x

y

Действительно, сохраняя аргумент , дадим приращение , тогда x получит приращение x, а y – приращение y:

x , , ;y , , .

А так

как приращениям x

и

y

отвечает

полное

приращение функции z f (x, y), то

z

z

x

z

y

x

y,

(2)

y

x

1

2

где 1 и 2 0,когда x и y 0.

Поделив равенство (2) на , получим:

z

z x

z y

x

2

y

.

(3)

1

x

y

Переходя в равенстве (3) к пределу при 0 и учитывая, что

при этом x и y 0, а значит, и 1

и 2 0, имеем

z

z

x

z

y

.

x

y

Аналогично, сохраняя

и давая приращение –

, получим

вторую формулу из равенства (1).

Пример.

z x2 y2; x ;

x 2 2.

Конечно, мы можем получить непосредственную зависимость z

от и :

z 2 2 2 2 4 2 2 4 ;

z

4 3 2 2 ;

z

4 3 2 2 .

Однако при более сложных зависимостях удобнее пользоваться формулами (1):

\

z z x z y 2x 2y2 2 2 4 2 2 4 3 2 2;x y

z z x z y 2x 2y 2 2 2 4 2 2 4 3 2 2 .

x

y

z f (x, y),

По определению полный дифференциал функции

где x ( , ), y ( , ),

z

z

dz

d

d .

(4)

Или в силу формул (1)

f x

f y

f x

f y

dz

d

d

x

x

y

y

f x

x

f y

y

f

f

d

d

d

d

dx

dy. (5)

x

y

x

y

Таким образом, имеем инвариантность формы первого

дифференциала функции

z f (x, y),

которая не зависит от того,

являются ли переменные

x и y

независимыми аргументами или

функциями других аргументов.

Обобщение на случай многих переменных

1. Формулы (1) распространяются и на сложные функции любого числа переменных. Пусть u f (x1,x2, ,xn), где

x1 1(t1,t2, ,tk ), x2 2(t1,t2, ,tk ), ... , xn n(t1,t2, ,tk ),

тогда

u

f

x1

f

x2

f

xn

;

x

t

t

x

2

t

x

n

t

1

1

1

1

1

(6)

u

f

x

f

x

2

f

x

n

1

.

x

t

x

t

x

t

t

k

k

2

k

n

k

1

Пример. u xyz; x 3 3; y ; z 3 3.