1835

b

Sкр.тр ydx.

a

b
Если f (x) 0, для x a,b , то	f (x)dx Sкр.тр (рис. 2).
a

y b b

f (x)dx f (x)dx Sкр.тр .

a a

0 а b x

Рис. 2

Если	f (x) меняет знак	на	a,b , то имеем алгебраическую
сумму площадей (рис. 3).
	y		b
S1			f (x)dx S1 S2 S3.
	y f x	S3	a
a	0	b x

S2

Рис. 3

Пусть задан криволинейный треугольник уравнениями своих сторон (рис. 4).

y

y1 1 x

y3 3 x	S Sтр1 Sтр3 Sтр2 .
	b	c	c

S 1(x)dx 3(x)dx 2(x)dx.

		y2 2 x									.									a										b	a
0		а								b				с		x
							Рис. 4
Пример.
1. Находим координаты точек A и B (рис. 5).
y x2														1
									x2						x2 2 x2 4 x															2.
	1
		x2												2														1,2
y					2
	2
		2												2				2
					1			2								2					1					2
2. S							x		2		dx			x			dx				2			x				dx
					2
	2													2				2			2
			x3 2								8							8						8 16
2x											4							4			8										кв. ед.
				6		2					6							6						3 3

	y
А	y	1	x2	2 В
	2
	С

		y x2
-2	0	2 x

Рис. 5

Случай параметрического задания кривой.

Пусть кривая AB задана параметрическими уравнениями (рис. 6)

x (t)	t , где a ( ), b ( ).
y (t)

y

В

А

0 a

b

x

Рис. 6

b

Sкр.тр ydx (t)d (t)

(t) (t)dt.

a

Пример.

2

y2

Вычислить площадь эллипса

x

1 (рис. 7).

a

2

b2

Параметрические уравнения эллипса:

x acost

для AB;

0 t 2.

y bsint

y

B

b

A

0

a

x

Рис. 7

1

0

0

2

1 cos2t

Sэлл

bsintd(acost)

ab sin2tdt ab

dt

4

2

2

2

0

ab	t			1	sin2t	2		ab
		2		4				4
						0				Sэлл ab.	(2)

Площадь в полярных координатах.

df

M OM xi y j M(x, y), (x, y) – декартовы координаты т.

M. OM называется полярным радиусом (рис. 8).

OM^Ox – полярный угол.

, – полярные координаты точки M, 0, 0 2 .

Полярная система координат определяется осью Ox (называемой полярной осью) и точкой O – полюсом системы. Из определения

тригонометрической функции следует x cos , y sin

x cos ;	(3)
y sin .

Формулы (3) выражают связь между декартовыми и полярными координатами точки и называются формулами перехода от полярных координат к декартовым. Из формул (3) имеем:

	x2 y2			0;
				(4)
		y
tg			.
		x

y

M x,y

j

0

i

x

Рис. 8

Всякое уравнение вида ( ) задает в полярной системе координат некоторую кривую.

const – окружность (рис. 17);

– спираль Архимеда (рис. 11);

a(1 cos ) – кардиоида (рис. 15);

acos3 – трехлепестковая роза (трилистник) (рис. 12);

2 a2 sin2 – лемниската (рис. 16);

a – гиперболическая спираль (рис. 10);

aek – логарифмическая спираль (k ctg – коэффициент роста) (рис. 13);

asin 2 – четырехлепестковая роза (рис. 14).

Пусть в полярной системе координат задан произвольный

сектор. Фиксируем				,		и дадим ему приращение d .
, d S –				площадь		заштрихованного сектора. За
приближенное значение S возьмем площадь кругового сектора с
радиусом R ( ) (рис. 9).
				d
				0		x
						Рис. 9
		а	y			y

0 x 0 x

Рис. 11

Рис. 10

y acos3

y

aek

x

0

x

Рис. 12

Рис. 13

y asin 2

y

a 1 cos

0

x

0

x

Рис. 14					Рис. 15
y	2	a	2	sin2	y

= const

0					x						0	x
Рис. 16											Рис. 17
S ds	1		R	2	d		Sсек	1		2	( )d .	(5)
								2
	2

Пример. Вычислить			площадь, ограниченную кардиоидой
a(1 cos ), когда 0 .
	1			a	2		1 2cos cos2 d
Sсек		a2 1 cos 2 d
2		0	2			0

	a	2	2sin					a2		1 cos2							a2				a2					1
																d											sin2
					0
	2							2						2			2				2
									0															2 4				0
				a2			a		2				3	a	2	S		3		a		2	.
				2				4					4					2

Лекция №10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА (ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ДУГ)

Дифференциал длины дуги

Зададим в пространстве некоторую дугу кривой.

	x x(t)
		t .
Параметрические уравнения y y(t)
	z z(t)
r (t) x(t)i y(t) j	z(t)k – векторное уравнение (рис. 1).

z

N

M B

A

r	k
i	j	y
x
	Рис. 1

Фиксируем т. M(x, y,z) AB и возьмем близкую

т. N(x dx, y dy,z dz) AB. Длина MN L, за приближенное

значение L возьмем

длину

хорды MN ,

L dL

MN

.

MN (dx,dy,dz) x (t)dt, y

(t)dt,z (t)dt .

dt.

MN

dx2 dy2 dz2

x 2 y 2 z 2

dL

x 2

y 2

z 2

dt.

(1)

Так как r (t) xti yt j

zt k

dL

r (t)

dt.

(2)

Формулы (1) и (2) определяют дифференциал длины дуги пространственной кривой.

Тогда получаем, что длина дуги пространственной кривой определяется по формуле

	r (t)		x 2 y 2 z 2dt.
LAB		dt			(3)

Пример.

Найти длину дуги винтовой линии r (t) costi sint j tk ,

0 t 2.

2

LAB		r (t)dt,	r (t) sinti	cost j	k ;
	0

r (t) sin2

2

LAB 2dt

0

	t cos2 t			1			2		.
			t	2						2,22 (рис. 2).
		2						2
		0		2

z

B

y

A

x

Рис. 2

Частные случаи формулы (3) на плоскости.

а) Случай плоской кривой, заданной параметрически:

x x(t);

t

r (t) x(t)i y(t) j .

y y(t),

r (t) xt i

yt j

r (t)

xt2 yt2

.

(4)

xt2 yt2dt.

LAB

(5)

б) Если кривую задать как график функции y f (x)

(рис. 3),

a x b

x x;

r (x) xi f (x) j .

y

f (x),

r

(x) i f (x) j .

r (x) 1 f 2(x).

y

y f (x)

A

B

a	0			b	x
	Рис. 3
	b
		1 yx	2dx.
	LAB				(6)
	a

Примеры:

1. Найти длину одной арки циклоиды (рис. 4).

x a(t sint);	0 t 2 .
y a(1 cost),
	y

a

0

2 а

A x

Рис. 4

							2
									xt2 yt2dt .
							LOA
							0			2
		xt a(1 cost);					yt asint. LOA a					(1 cost)2		sin2 tdt
	2								2	0				2
																	t
	a	1 2cost cos2 t sin2 tdt a											dt a		2sin			dt
										2(1 cost)
	0					2			0					0	2
				t
	4a cos					4a(cos cos0) 8a.
				2
					0

2. Найти длину дуги параболы y 2 xx, когда 0 x 8 (рис. 5).

3

8

LOA 1 yx2dx.

0

8

LOA

0

yx	2			3 2
			x				x .
		3

		1 x 3 2 8							2 27 2			52
1 x dx														.
					3 2		0		3	3		3
y
	y	2	x				A
					x
3

0

8

x

Рис. 5

в) Длина дуги в полярных координатах.