1835

Вычисление определенных интегралов ведется на основании формулы Ньютона – Лейбница. Отметим следующие две формулы.

I. При замене переменной под знаком определенного интеграла пределы интегрирования меняются согласно следующей формуле:

b
	x (t), dx (t)dt
f (x)dx
a	a (t) b t	, где ( ) a, ( ) b

f ( (t)) (t)dt.

Д о к а з а т е л ь с т в о

Пусть f (x)dx F(x) C f ( (t))d (t) F( (t)) C.

b

Тогда f (x)dx F(x) ba F(b) F(a).

a

f ( (t))d (t) F( (t)) F( ( )) F( ( )) F(b) F(a).

Примеры:

e			ln x						e			1 x e, 0 ln x 1 1
1.					dx ln xd ln x																	udu
																eu
1			x						1			ln x u x										0
u2 1							1		.
			2 0				2						d								1
																							d
1											x tg , dx
				dx									cos2				4				cos2
2.
							3 2																		3
						2																2
0 1 x											0 x 1 0							0			1 tg
												4

4	d		4				2
				cos d sin 0	4				.
		1
0 cos2			0			2
		cos3

II. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

b b

udv uv ba vdu.

a a

Д о к а з а т е л ь с т в о Для неопределенного интеграла имеем:

udv uv vdu (udv vdu) uv

b

b

b

(udv vdu) uv ba udv uv ba vdu .

a

a

a

u x,

du dx

1

Пример. xsinkxdx

dv sin kxdx v

coskx

k

xcoskx

1

cosk

cosk

1

coskxdx

sinkx

k

k

k

k

k2

2 ( 1)k ( 1)k 1 2 . k k

Квадратурные формулы

Квадратурными формулами называются формулы для приближенного вычисления определенных интегралов. Эти формулы основаны на геометрическом смысле интеграла (рис. 1):

Sкр.тр	n	b
	lim f i xi	f (x)dx.
	n i 1	a
	0

При приближенном вычислении интеграла криволинейную трапецию заменяют другой более простой фигурой и находят её площадь.

y

y f (x)

0

a

b

x

Рис. 1

1. Формула прямоугольников.

b

f (x)dx Sкр.тр

a

Sкр.тр Sст.ф

y

y f (x)

0 xi xi 1 x

Рис. 2

Разбиваем a,b на n равных частей точками (рис. 2): a x0 x2 ... x2n b.

Длина каждого частичного отрезка h b a называется шагом

приближенной формулы.

n

Середину x2k 2,x2k обозначим x2k 1

и вычислим

y2k 1

f (x2k 1),

k 1,2,...,n.

Заменяя криволинейную трапецию ступенчатой фигурой, имеем

для приближенного вычисления интеграла формулу

b

f (x)dx

b a

y

y

... y

.

(4)

3

2n 1

n

1

a

Формула (4) называется формулой прямоугольников.

Абсолютная погрешность результата при применении формулы (4)

k

(b a)3

, где

k max

f

,

(5)

24n2

(x)

a x b

то есть если – точное значение интеграла, а – приближенное значение, полученное по формуле (4), то

.

2. Формула Симпсона.

Для вывода формулы Симпсона нужна формула Архимеда:

h

S 3 y1 4y2 y3 .

Парабола имеет ось симметрии, параллельную Oy (рис. 3).

y

y f (x)

0

x1

x2

x3

x

Рис. 3

Вывод формулы Архимеда. Пусть парабола ax2 bx c y

проходит через три точки:

A( h, y1),

B(0, y2 )

и C(h, y3), тогда

y ah2

bh c

y

y

2y

1

3

2

y2 c

a

1

.

2h2

bh c

y3 ah2

h

x

3

x

2

n

S ax2

bx c dx a

b

cx

h

3

2

n

2

ah3 2ch

2

y1 y3 2y2

h3

2y

h

h

y 4y

y

.

3

3

2h2

2

3

1

2

3

Разбиваем a,b на n равных частей длиной h b a. n

y

y f (x)

0

a x2k 2 x2k b

x

Рис. 4

Берем середину каждого частичного отрезка и каждую полоску криволинейной трапеции заменяем полоской ограниченной сверху

куском параболы с осью симметрии параллельно оси Oy (рис. 4). В результате получаем формулу Симпсона:

b

f (x)dx

b a

y

4y 2y

4y

2y

... 4y

y

. (6)

0

2

3

4

2n 1

2n

6n

1

a

Абсолютная погрешность формулы (6)

k

(b a)5

, где k max

f IV (x)

.

(7)

2880n4

a x b

Пример. Вычислить

6

ln xdx

по формуле прямоугольников и

1

формуле Симпсона и оценить погрешности, если n 5.

1. f (x) ln x; h

b a

1.

b

b a

n

f (x)dx

y y

y

y

y

;

3

5

7

9

n

1

a

6

ln xdx ln1,5 ln2,5 ln3,5 ln4,5 ln5,5 5,78.

1

3

k

(b a)

, k max

f

.

1

1

;

;

24n2

(x)

f (x)

f (x)

x2

a x b

x

1

53

5

6

f

; k 1

0,2

ln xdx 5,8( 0,2).

(x)

x2

24 52

24

1

bb a

2.f (x)dx (y0 4y1 2y2 4y3 2y4 4y5 2y6 4y7

a6n

2y8 4y9 y10).

6

1

ln xdx

[ln1 ln6 4(ln1,5 ln2,5 ln3,5 ln4,5 ln5,5)

6

1

2(ln2 ln3 ln4 ln5)] 5,7498.

k

(b a)5

, k

max

f

IV

(x)

,

2

;

f

IV

(x)

6

;

2880n4

f (x)

x3

x4

a x b

f IV (x)

5

5

30

6

max

6

0,010; ln xdx 5,75( 0,01).

2880 54

1 x 6

2880

1

6

Точное значение ln xdx xln x x 16 6ln6 5 5,75056.

1

Лекция №8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Интегрируемыми функциями на a,b являются непрерывные и кусочно-непрерывные функции.

Практические задачи приводят к необходимости рассматривать интегралы от неограниченных функций (т.е. функция терпит на a,b разрыв второго рода) и от непрерывных функций, но на бесконечном интервале a, , либо ,b , или , .

Интегралы от неограниченных функций или по неограниченному отрезку называются несобственными.

Несобственные интегралы I рода – это такие интегралы, когда один или оба предела интегрирования бесконечные. Такие интегралы определяются через предел.

R

1.		f (x)dx lim		f (x)dx;
	a		R a
	b			b
2.			f (x)dx lim	f (x)dx;
			R R

R2

3.	f (x)dx	lim	f (x)dx.
		R 2
		R R1
		1

В случае, когда пределы, стоящие в правых частях этих равенств, существуют, то говорят, что несобственные интегралы сходятся и их называют сходящимися. В случае, когда пределы не существуют либо равны , говорят, что интегралы расходятся и их называют расходящимися.

Примеры:

dx				R			1		R			1			1				1
1.			lim	x 3dx	lim						lim									–
		3					2x	2						2					2
1 x			R	1	R				1		R 2R				2

сходящийся интеграл.

Геометрический смысл (рис. 1).

y

1
y			dx			1
	x3	S тр						.
					3
			1 x			2

0

1 R2 Рис. 1

R

x

R

2.

dx

lim

x 1 2dx lim 2

1R lim 2

2

–

x

R

1

x

R

1

R

R

расходящийся интеграл.

dx

R2

dx

R

3.

lim

lim

arctgx 2

1 x

1 x2

2

R2

R2

R1

R R1

R

1

1

lim

arctgR2

lim arctgR

–

сходящийся

1

2

2

R2

R1

интеграл (рис. 2).

y

1

f x

1

1 x2

S тр

.

0

x

Т е о р е м

Рис. 2

для

x a, 0

f (x) g(x), то из

а.

Если

сходимости

g(x)dx сходимость f (x)dx ,

а из

расходимости

a

a

f (x)dx расходимость

g(x)dx .

a

a

Д о к а з а т е л ь с т в о

Из условия и в силу свойства 30 имеем:

R

R

R

R

0 f (x)dx g(x)dx 0 lim

f (x)dx lim g(x)dx заключени

a

a

R a

R a

е теоремы.

dx

Пример. Определить сходится или расходится

.

1

1

1

1 x3

0 f (x)

g(x)

, для x 1, .

x3 2

1 x3

dx

R

1 R

2

lim

x 3 2dx lim 2

lim

2

2

–

3 2

1 x

R

1

R

x

R

R

dx

1

сходится

– сходится.

1 x3

1

Несобственные интегралы II рода – это интегралы от функций,

неограниченных на a,b .

Здесь выделяют три случая.

a,b ,

1. Пусть

f (x) интегрируема

на

отрезке

но

неограниченна в точке b , то есть

lim

f (x) (рис. 3).

x b 0

y

				b		b
					f (x)dx lim		f (x)dx.
				a		0	a
						( 0)
	0	а	b ε b	x
		Рис. 3
2.	f (x) интегрируема на a ,b , но неограниченна в точке
a, то есть lim		f (x) (рис. 4).
	x a 0
	y
					b			b
						f (x)dx lim		f (x)dx.
					a	0		a
						( 0)
	0	а а	b	x
		Рис. 4
3.	f (x) неограниченна в точке c , то есть lim f (x) (рис. 5).
						x c

y

b c b

Тогда	f (x)dx	f (x)dx f (x)dx, то есть разбиваем интеграл
a	a	c

на два несобственных, рассмотренных в случаях 1 и 2, если оба они сходятся, то интеграл сходится; если хотя бы один расходится, то интеграл расходится.

Примеры:

2 dx				1
1.			– несобственный интеграл II рода, так как	f (x)
		2			x2
1 x

1

(рис. 6) неограниченна в т. x 0, то есть lim , разрыв II рода

x 0 x2

в т. x 0.

y

1

f (

1

1

2

2 x

Рис. 6

Нельзя формально применить формулу Ньютона – Лейбница.

2	dx				1		2		1	1	3	.
		2							2		2
1 x					x 1

	2 dx								0 dx						2 dx										1 dx								2 dx					1		1
																					lim									lim							lim
		x	2								x			2			x		2							x	2							x	2
	1								1						0						1	0			1					2 0			2				1 0	x		1
				1					2								1										1			1
																																					–	интеграл
	lim																								lim
				x										lim				1			1						2
	2 0						2							1 0										2 0						2
расходится.
		1						dx							1												1
	2.													1 x 1 2 dx lim																1 x 1 2 d(1 x)
							1 x
		0													0										0			0
lim 2										10 lim 2														2 2 – интеграл сходится (рис. 7).
						1 x
	0																	0

y

			S		1		dx
		1		тр					2.
y					0	1 x

1

0

1 x

Рис. 7

Лекция №9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА (ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР)

	1. Вычисление площадей.
	Эти вычисления основаны на геометрическом смысле
определенного интеграла. Если f (x) 0, для		x a,b , то
b	f (x)dx Sкр.тр (рис. 1).
a

b

Sкр.тр f (x)dx.

(1)

a

y