http://profbeckman.narod.ru/

6. ГЕОМЕТРИЯ ФРАКТАЛОВ

В 1953 году я понял, что прямая линия ведёт человечество к упадку.

Тирания прямой стала абсолютной. Прямая линия – это нечто трусливое, прочерченное по линейке, без эмоций и размышлений; это линия, не существующая в природе.

И на этом насквозь прогнившем фундаменте построена наша обречённая цивилизация.

Ф. Хундертвассер

Окружающий нас мир состоит из предметов различной формы и процессов, как периодических, так и случайных. Далеко не все из них способна описать современная математика. Хотя определённый прогресс наметился, когда помимо трёх старых геометрий (геометрия Эвклида, Римана и Лобачевского) появилась геометрия фракталов, вовлекшая в количественных анализ целый ряд объектов исследования, которые одновременно характеризуются ломаной линией и самоподобны.

Евклидова геометрия (или элементарная геометрия) – геометрическая теория,

основанная на системе аксиом, впервые изложенной в "Началах" Евклида (III век до н.э.). Аксиомы Евклида носят очевидный характер: от всякой точки до всякой точки можно провести прямую; ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой; из всякого центра всяким раствором может быть описан круг; прямые углы равны между собой; параллельные прямые не пересекаются и т.п. Важно, что геометрия Евклида реализуется на поверхностях с нулевой кривизной.

Геометрия Римана реализуется на поверхностях с постоянной положительной кривизной – на выпуклых объектах (на сферах). Как известно, на глобусе меридианы (параллельные линии) пересекаются, причём в двух точках: на северном и южном полюсах.

Геометрия Лобачевского реализуется на поверхностях с постоянной отрицательной кривизной – на вогнутых объектах. В пиале параллельные сходятся в одном полюсе (на дне пиалы) и расходятся на бесконечные расстояния при движении в противоположную сторону.

Все эти геометрии имеют дело с объектами или физическими процессами, которые можно описать гладкими законами или функциями, которые непрерывны и могут быть продифференцированы в любой точке. Но в природе множество объектов ломаной формы. В этом легко убедиться, взглянув на облака, морозные узоры на стекле, берег моря (особенно в Норвегии) и т.п. Упомянутые математики хорошо пригодны для описания периодических процессов. Но в природе много хаотических явлений, например, возникновение под действием порыва ветра волн на гладкой поверхности озера.

Предложенная Бенуа Мандельбротом в 1975 году геометрия фракталов, занимающаяся объектами, которые одновременно характеризуются ломаной линией и самоподобны, позволила существенно расширить объекты исследования, распространив математические методы на объекты с чрезвычайно тонкой структурой. Конечно не на все объекты с разрывными (не дифференцируемыми) функциями, а только на самоподобные, инвариантные относительно изменения масштаба (т.е. выглядящие одинаково при любой степени увеличения).

Теперь четыре геометрии охватывают широкий набор объектов, то далеко не все. Остальные ждут очередного гения.

Термин фрактал в 1975 г. ввёл Б.Мандельброт для обозначения множеств с дробной размерностью.

Фрактал (fractus – состоящий из фрагментов, ломаный, разбитый) – бесконечно самоподобная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, т.е. составленная из нескольких частей, каждая из которых в каком-то смысле подобна всей

http://profbeckman.narod.ru/

фигуре целиком. Это математическое множество, обладающее свойством самоподобия (имеет ту же форму, что и одна или более частей) и имеющее дробную метрическую размерность (в смысле Минковкого или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, df, отличную от топологической, dT (df>dT): df строго больше dT, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев.

Фрактал – геометрическая фигура, состоящая из частей, представляющих собой уменьшенную (необязательно точную) копию целого. В свою очередь каждая часть разбивается на ещё меньшие копии до бесконечности. Это бесконечно самоподобная фигура, причём фигура с дробным числом измерений, то есть не двухмерная и не трёхмерная, а, скажем, 2,76-мерная. Фрактал – множество с дробной размерностью, причём небольшая часть фрактала содержит информацию обо всём фрактале. Фрактальные объекты плотно занимают пространство, но не используют его полностью. Это геометрический образ самоорганизующейся в сильно неравновесных условиях системы. Фрактал – неупорядоченная система, беспорядок, который может быть описан степенными функциями с дробными степенями.

Самоподобный объект – объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого (то есть целое имеет ту же форму, что и один или более его фрагментов). Многие объекты реального мира, например, береговые линии, обладают свойством статистического самоподобия: их части статистически однородны в разных шкалах измерения. Самоподобие – характеристическое свойство фрактала. Инвариантность относительно изменения шкалы является одной из форм самоподобия, при которой при любом приближении найдётся по крайней мере одна часть основной фигуры, подобная целой фигуре.

Множество – объединение в единое целое определённых вполне различаемых предметов (объектов), которые при этом называются элементами образуемого им множества.

Самоподобное множество – множество, состоящее из нескольких компонент, подобных всему этому множеству; компоненты получают афинными преобразованиями — поворотом, сжатием и отражением исходного множества.

Самоподобие – наиболее важная симметрия из встречающихся в природе, и геометрия фракталов – математическая основа описания таких структур нашла широкое применение в математике, математической физике, химии, материаловедении, биологии, географии, синергетике, информатике, геологии, экологии, экономике, технике и искусстве (музыка, живопись, скульптура, архитектура, дизайн), а также для анализа текстов и временных рядов (на примере, цены акций или флуктуации радиационного фона). Методами фрактальной геометрии ведётся моделирование различного рода объектов (деревья, коллоидные частицы и аэрозоли, дендриты, береговая линия моря, плазма, поверхности с сильно развитым рельефом, пористые тела и т.п.) и процессов (броуновское движение, миграция, диффузия, перколяция, фильтрация, проницаемость гетерогенных мембран, адсорбция, катализ, турбулентность, плазменное травление и т.п.).

Фрактальная геометрия – геометрия объектов дробной (фрактальной) размерности (например, коры дерева, облака, береговой линии залива и пр.).

Нелинейная динамика значительное внимание уделяет идеям геометрии фракталов: описание динамического хаоса, информационных и диффузионных процессов, энтропии, спектроскопии различного рода шумов (включая эффекты интермитанса), в статистике с показательными законами, в решении дифференциальных уравнений в частных производных с дробными степенями.

Фракталы бывают абстрактными или природными структурами. В математических фракталах имеет место бесконечная масштабная иерархия самоподобных фигур, в природных объектах иерархия конечна. В реальных природных системах обнаруживаются не только пространственные, но и временные структуры. Как правило, пространственная и временная организации настолько взаимосвязаны, что обычно говорят о

http://profbeckman.narod.ru/

пространственно-временных структурах. Временные структуры изучаются путём анализа временных рядов данных наблюдений, пространственные – путём анализа двумерных изображений.

В данной главе мы рассмотрим основные особенности геометрии фракталов. Её применение для решения практически важных проблем будет проиллюстрировано в последующих текстах.

6.1 Элементы геометрии фракталов

Как известно, геометрия Эвклида имеет дело с "гладкими" объектами: шар, яйцо, цилиндр, кубик и т.п. Такие объекты можно найти в природе, но они редки. Обычно контуры, поверхности и объёмы окружающих нас предметов не ровны, не гладки и не совершенны. Они неровны, шершавы, изъязвлены множеством отверстий самой причудливой формы, пронизаны трещинами и порами, покрыты сетью морщин и царапин. Можно ли их как-то количественно описать? Геометрия фракталов говорит: не все, но многие можно. Если они самоподобны. Геометрии, общей для всех объектов, пока не существует.

Начнём с геометрии Эвклида. Дан шар радиуса r. Площадь сечения по экватору SS= r2, длина экватора l=2 r, периметра к площади

l	2	1	2 r d , где d=1.	(1)
SS
		r

Площадь поверхности шара SS=4 r2, объём V=(4/3) r3, отношение

SS

4 3 r2

3

1

3 r d , где d=1

(2)

V

r

4 r3

Отношение

l

2 3 r

3

1

1,5 r d , где d=2.

(3)

V

4 r3

2 r2

Имеем показательные функции с некоторым множителем (на него не обращаем внимания – он нас в дальнейшем интересовать не будет) с показателем степени d, который имеет целочисленные значения: или 1 или 2. Важно, что это не только свойство сферы, но свойство любых геометрических тел, свойство геометрии Эвклида.

Геометрия фракталов утверждает, что для многих (но далеко не до всех!) тел сильно развитым рельефом отношение поверхности объекта, Ss, к его объёму, V, можно представить в виде некоторый масштабированный параметр r, получим

Ss	r d f ,	(4)

V

где r – некий параметр (коэффициент) масштаба, d – целое или дробное число (показатель фрактала, обозначаемый обычно, как df), в зависимости от развитости рельефа и размерности пространства лежащее где-то между 0 и 3 (0 df 3).

Замечание. Если d – целое число, то описание объекта (например, колобка, т.е. шара, дифференцируемого в любой точке) попадает под геометрию Эвклида, ёж не дифференцируемый ни в одной точке, с дробным значением d, не попадает под геометрию Эвклида, но и фракталом не является.

Чтобы объект отнести к фракталам мало иметь дробное значение df (хотя иметь, конечно, надо обязательно), нужно, чтобы структура была самоподобна, масштабно инвариантна, т.е. обладать скейлингом. Грубо говоря, картина при любой степени увеличения в своих основных чертах должна оставаться неизменной (т.е. с каким бы шагом (большим или самым мелким) не измеряли бы длину контурной линии (например, длину берега Белового моря), величина df должна оставаться постоянной. Ни с Колобком, ни с надкусанным гнилыми зубами яблоком, ни с дикобразом такого не получится, а вот с облаками, горами, дельтой реки, кораллом может получиться (хотя и не всегда).

http://profbeckman.narod.ru/

Существуют чисто математические объекты, к которым дробность и самоподобие применимы на 100%.

Скейлинг (автомодельность, самоподобие, масштабная инвариантность) – особая симметрия системы, состоящая в том, что изменение масштабов одних переменных может быть скомпенсировано преобразованием масштабов других; свойство уравнений физики сохранять свой вид при изменении всех расстояний и промежутков времени в одинаковое число раз, т.е.

x k x, y k y, z k z, t k t.

Причём здесь подразумевается лишь изменение единиц измерения, само пространство-время остаётся неизменным. Такие изменения называются преобразованиями подобия и образуют группу масштабных преобразований.

Фрактальное самоподобие (скейлинг) повторение фракталом самое себя на разных масштабных уровнях, т. е. неизменность закона построения фрактала.

Фракталы – язык геометрии. Однако главные элементы фрактала недоступны непосредственному наблюдению. В этом отношении они принципиально отличаются от объектов евклидовой геометрии, таких, как прямая линия или окружность. Фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур. Эти алгоритмы трансформируются в геометрические формы с помощью компьютера. Репертуар алгоритмических элементов неисчерпаем. Овладев языком фракталов, можно описать форму облака так же чётко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии.

Фрактальные среды обладают настолько сложной геометрией, что многие физические и процессы протекают в них не так, как в обычных сплошных средах. Это используется в различных сферах. Например, сравнивая фрактальные размерности сложных сигналов, энцефалограмм или шумов в сердце, медики могут диагностировать некоторые тяжелые заболевания на ранней стадии, когда больному еще можно помочь. Барабан, натянутый на гладкий или фрактальный контур, звучит по-разному, и это различие можно использовать для диагностики характера контура и определения его фрактальной размерности. Метеорологи научились определять по фрактальной размерности изображения на экране радара скорость восходящих потоков в облаках, что позволяет с большим упреждением выдавать морякам и летчикам штормовые предупреждения. Такого рода применений фракталов уже сейчас существует великое множество, и число их все увеличивается.

У понятия фрактал нет строгого определения. Поэтому слово «фрактал» не является математическим термином. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств:

–обладает сложной структурой (присутствует мелкие детали при любом увеличении);

–является (приближенно) самоподобной (самоподобие фракталов);

–обладает дробной хаусфордовой (фрактальной) размерностью, которая больше топологической;

–может быть построена рекурсивной процедурой, т.е. процедурой, которая повторяет (вызывает) сама себя; каждая часть системы повторяет в своём развитии развитие всей модели в целом и воспроизводится в различных масштабах без видимых изменений (однако, изменения все же происходят, что в значительной степени может повлиять на восприятие нами объекта);

–функция, описывающая фрактал, не дифференцируема, т.е. не гладкая ни в какой точке (нерегулярность фракталов);

–инвариантность («sealant» – масштабируемый) – инвариантный объект имеет различные

масштабы отображения.