http://profbeckman.narod.ru/

10. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОПИСАНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Математическая теория систем (как простых, так и сложных, как статических, так и динамических, как линейных, так и нелинейных) строится на использовании дифференциальных уравнений, дискретных отображений, символьных динамических уравнений, теории графов, теории марковских цепей и др. Большее распространение получили три вида математического аппарата: дифференциальные уравнения (потоки; время непрерывно), разностные уравнения (отображения, каскады; время дискретно) и символические динамические уравнения. Сравнительно простые задачи динамики обычно сводят к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), т.е. уравнений для функции от одной переменной f(x) или к системе ОДУ – функции от двух переменных f(x,y).

Данная глава посвящена особенностям описания эволюции динамических систем обыкновенными дифференциальными уравнениями. Другой важный метод теории динамических систем, основанный на отображениях, будет рассмотрен в следующих главах.

10.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения

Основное содержание теории динамических систем – это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств (многообразий).

Динамика системы может быть описана обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Дифференциальное уравнение – уравнение, в которое входят производные функции, и может входить сама функция, независимая переменная и параметры. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или могут отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением.

Порядок дифференциального уравнения – наивысший порядок производных, входящих в него. Если дифференциальное уравнение является многочленом относительно старшей производной, то степень этого многочлена называется степенью дифференциального уравнения.

Пример 1. Уравнение является уравнением второго порядка, четвёртой степени.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) – дифференциальные уравнения для функции от одной переменной. (Этим они отличаются от уравнения в частных производных, где неизвестная – это функция нескольких переменных.)

ОДУ – это уравнения вида

F(x(n),...,x',x,t)=0 (1)

где штрих означает дифференцирование по x. Число n (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) называется порядком дифференциального Ур.1.

Дифференциальное уравнение для функции x(t) содержит непосредственно функцию x(t), её производные по времени t и, возможно само время t. Порядок дифференциального уравнения определяется как наивысший порядок производных функции x(t), встречающихся в записи уравнения.

Типичными примерами ОДУ являются:

dx/dt=2x	(1 пор.);
d2x/dt2+4(dx/dt)3+4x=0	(2 пор.);

http://profbeckman.narod.ru/

d3x/dt3+x2(1+t4)=0

(3 пор).

Дифференциальное уравнение – линейное, если члены уравнения содержат функцию x(t) и её производные только в первой̆ степени, и нет членов, содержащих произведение функции на ее производную (таких, как xdx/dt). Иначе – уравнение нелинейное. Простейшими примерами дифференциального уравнения второго порядка служат уравнения x x 0 и x sinx 0. Первое из них – линейное, оно описывает малые колебания математического маятника, второе (нелинейное) описывает колебания произвольной амплитуды. Если коэффициенты линейного дифференциального уравнения зависят от времени, то говорят о линейном уравнении с переменными коэффициентами. в тех случаях, когда коэффициенты постоянные, уравнение называется стационарным, или уравнением с постоянными коэффициентами.

Если время непрерывно, то общий̆ вид линейного дифференциального уравнения

первого порядка:
dx/dt+a(t)x=f(t).	(2)
В более простом случае:	(3)
dx/dt=f(x;t)``

Система ОДУ называется автономной (динамической или консервативной), если в неё явно не входит независимая переменная. Под независимой переменной обычно понимают время (t), а решение автономной системы интерпретируется как движение точки. Автономная система описывает закон движения, не изменяющийся с течением времени, – именно таково большинство физических законов.

Состояние автономных систем в каждый момент времени характеризуется

единственной величиной – значением переменной x в данный момент t
	dx		f (x)	(4)
		x

dt

Автономия – собственная закономерность, определяемость какого-либо явления его внутренними законами. Применительно к системе уравнений подчёркивает отсутствие внешних воздействий.

Автономная система – динамическая система, описываемая уравнением dx x f x , в dt

котором f непосредственно не зависит от времени t, а только через переменную х. Если же f

непосредственно зависит от t, dx x f x,t , то уравнения такого типа называются dt

неавтономными.

Замечание. Линейные автономные системы допускают точные решения, которые выражаются просто через экспоненту того линейного оператора, который стоит в правой части системы. Ситуация с линейными неавтономными системами уравнений совершенно иная. Линейные неавтономные системы, как правило, не решаются, т.е. существует формул, которые выражают решения линейных неавтономных систем через их коэффициенты с помощью элементарных функций, алгебраических операций, логарифмирования, дифференцирования, интегрирования. Поэтому неавтономные линейные системы анализируют лишь качественно.

Решениями Ур.4 x(t) являются кривые на плоскости t, x, называемые интегральными кривыми. Функция f, входящая в Ур.4 называется векторным полем (полем фазовых скоростей), так как она присваивает каждой точке x U вектор фазовой скорости f(x). Специфика автономной системы состоит в том, что поле фазовых скоростей не меняется с изменением времени.

Пусть заданы начальные условия х=х0 при t=0 или, иначе, пусть на плоскости t, x задана точка с координатами (t0,x0). Если для Ур.4 выполнены условия теоремы Коши, то имеется единственное решение Ур.4, удовлетворяющее этим начальным условиям, и через точку (t0,x0) проходит одна единственная интегральная кривая x(t).

http://profbeckman.narod.ru/

Интегральные кривые Ур. 4 не могут пересекаться. Решения Ур. 4 не могут быть периодическими, они монотонны. Поведение интегральных кривых на плоскости t, x можно установить, не решая в явном виде дифференциального Ур. 4, если известен характер движения изображающей точки на фазовой прямой. Рассмотрим плоскость t, x, причем фазовую прямую совместим с осью x. Построим на плоскости t, x точку с абсциссой t и с ординатой, равной смещению изображающей точки по оси x в данный момент времени t. С течением времени в соответствии с Ур. 4 изображающая точка будет двигаться по фазовой прямой, а на плоскости t, x описывать некую кривую. Это будет интегральная кривая Ур. 4. Решения одного автономного дифференциального уравнения либо уходят в бесконечность (чего не бывает в реальных системах), либо асимптотически приближаются к стационарному состоянию.

В стационарном состоянии значения переменных в системе не меняются со

временем, т.е. dx/dt=0, откуда
f(x) = 0.		x1,		2 ,...,					(5)
Корни этого алгебраического уравнения:			x		x	n –			стационарные	состояния
дифференциального Ур. 4. На плоскости (t, x)	прямые x						x	i	– асимптоты,	к которым

приближаются интегральные кривые. На фазовой прямой стационарное состояние xi –

точка, к которой стремится величина x.

Лишь для ограниченных классов ОДУ разработаны аналитические методы решения. К ним относятся:

1.Уравнения с разделяющимися переменными решаются в интегралах.

2.Линейные дифференциальные уравнения (не обязательно автономные).

3.Некоторые специальные виды уравнений.

Независимая переменная интерпретируется как время, t. Переменная y – некоторая величина (или совокупность величин, если y является вектор-функцией), изменяющаяся со временем. Например, y может означать набор координат точки в пространстве; в этом случае Ур.4 описывает движение точки в пространстве, т. е. изменение её координат с течением времени. Независимая переменная x обычно принимает вещественные значения, однако рассматриваются и дифференциальные уравнения, в которых переменная x комплексная (уравнения с комплексным временем).

Динамическая система обычно описывается не одним уравнением, а системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Нормальная автономная система ОДУ имеет вид

dxk	f	k	x ,...,x	n	,	k 1, 2,...,n	(6)
dt			1

в которой все функции х1,...,хn и f1,...,fn - вещественные. Её векторная запись

dX f X .	(6а)
dt

Пусть функции fk(x1,...,xn), k=1,.2,..,n, непрерывно дифференцируемы в некоторой области D пространства переменных x1,...,xn. Тогда выполняются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, и для любого числа to и любой

точки

X

0 D

существует

единственное

решение

X

(t)системы

(6),

удовлетворяющее условию

(t)

X

(0).

Всякое решение

(t)

системы (6) –

это интегральная кривая в

(n+1)

X

пространстве переменных t, x1,...,xn. Если же рассматривать t как параметр, то решение

X	(t) ,	т.е. x1= 1(t),	x2= 2(t),	, xn= n(t), в n-мерном пространстве переменных x1,...,xn
описывает		некоторую	кривую,	для которой x1= 1(t),	x2= 2(t),...,	xn= n(t) – её

параметрическое представление. Эта кривая называется фазовой траекторией, а пространство Rn, в котором решение автономной системы (6) интерпретируется в виде

http://profbeckman.narod.ru/

траектории, называется её фазовым пространством. На траектории выбирается направление движения в сторону возрастания параметра (времени) t.

В каждой точке области D своего фазового пространства система (6) задаёт вектор

f (X ) , называется вектором скорости.

На области D система (6) определяет векторное поле – поле фазовых скоростей.

Точки, в которых f (X ) 0 , называются особыми (иногда характеристическими) точками векторного поля. Специфика автономной системы состоит в том, что поле фазовых скоростей не меняется с изменением времени.

Если в точке

a

D фазовая скорость равна нулю: f (

a

) 0

,

то вектор функция

X

(t)

a

есть решение системы (1). Действительно, подставляя

в

систему

X

(t)

a

получим

da

(

). Верно и обратное, если

f

a

X

(t)

a

есть решение,

то f

(t) 0

так как

dt

f (a) dX da 0. dt dt

Это решение X (t) a называется положением равновесия (или точкой покоя) автономной системы (1). Таким образом, особые точки векторного поля определяют

положения равновесия автономной системы - это все решения системы f (X ) 0.

Из теоремы существования и единственности решения задачи Коши следует, что через каждую точку области D фазового пространства проходит одна фазовая траектория, изображающая решение системы (6). Говорят, что фазовое пространство автономной системы расслаивается на непересекающиеся траектории (для неавтономных систем это не так).

Можно доказать, что всякая фазовая траектория системы (6) принадлежит к одному из трёх типов:

–положение равновесия;

–замкнутая гладкая кривая (цикл) - периодическое решение с наименьшим периодом T>0.

–гладкая кривая без самопересечений.

Для автономной системы фазовая траектория есть проекция интегральной кривой

системы на фазовое пространство. Интегральная кривая X (t) – это линия в (n+1) пространстве переменных t, x1,...,xn, а фазовая траектория – это видимая траектория в

пространстве переменных x1,...,xn (рис. 1).

Рис. 1. Фазовая траектория на фазовом пространстве.

Если коэффициенты линейного дифференциального уравнения зависят от времени, то говорят о линейном уравнении с переменными коэффициентами. В тех случаях, когда коэффициенты постоянные, уравнение называется стационарным, или уравнением с постоянными коэффициентами. Для линейных

дифференциальных уравнений разработаны аналитические методы их решения; теория нелинейных дифференциальных уравнений развита значительно хуже; общих методов решения таких уравнений не существует, описаны лишь отдельные типы уравнений, которые могут быть проинтегрированы, такие как уравнения Бернулли, Риккати и др.

Непрерывное и дискретное времена используются в различных областях теории динамических систем: первые – непрерывные кривые в пространстве состояний, а вторые

– последовательности точек в пространстве. ОДУ могут быть как линейными, так и нелинейными. Важная особенность линейных систем – они обычно имеют единственное

x(n)+an-1x(n-1)+...+a1x'+a0x=0

x(n)(t)+an-1x(n-1)(t)+...+a1x'(t)+a0x(t)=f(t)

http://profbeckman.narod.ru/

решение (причём сумма их решений также является решением), тогда как нелинейные системы либо не имеют решений, либо их несколько.

Напомним, что при решении обыкновенных дифференциальных уравнений используются три подхода: численный, структурный и символьный. В первом случае входные данные представляют собой массивы чисел или числовые матрицы, которые обрабатываются соответствующими программами; во втором исходная математическая модель представляется в виде структурной схемы из сумматоров, интеграторов и других вычислительных блоков; в третьем случае исходная математическая модель задаётся математическими формулами, записанными относительно символьных переменных.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (неявное дифференциальное уравнение) в общем виде записывают как

F x, y, y', y'',..., y n ,

(7)

где y(x) – неизвестная функция, зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по х. Число (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) называется порядком дифференциального Ур.7.

Независимая переменная часто интерпретируется как время, поэтому её обозначают буквой . Переменная – некоторая величина, изменяющаяся со временем, например, набор координат точки в пространстве; в этом случае Ур.7 описывает движение точки в пространстве, то есть изменение её координат с течением времени.

Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения вида

y(n)=f(x,y,',y'',...,y(n-1))

(8)

в которых старшая производная y(выражается в виде функции от переменных и производных порядков меньше Такие дифференциальные уравнения называются

нормальными или разрешёнными относительно производной.

Уравнение (8) имеет множество решений, для выбора одного из них требуется дополнительное условие, например, начальное условие.

Дифференциальное уравнение вида

(9)

называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами. Если возмущающая функция f(t) равна нулю, то уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным решением.

Решения линейного однородного дифференциального уравнения

(10)

обладают следующими свойствами:

1. Если х1(t) и х2(t) – два решения Ур. 10, то функция х3(t)=с1х1(t)+с2х2(t), где с1 и с2 – любые постоянные коэффициенты, также является решением Ур. 7. Это – принцип суперпозиции для однородных систем.

2. Существует n различных линейно независимых решений Ур. 10.

3. Общее решение Ур. 10 имеет вид х0(t)=с1х1(t)+…+сnхn(t), где х1(t),…,хn(t) – линейно независимые решения Ур. 10; с1,…,сn – произвольные коэффициенты.

Неоднородное Ур. 9 обладает следующими свойствами:

4. Общее решение Ур. 9 равно сумме какого-либо частного решения хч(t) и общего решения соответствующего однородного уравнения х0(t): x(t)=x0(t)+xч(t)=c1x1(t)+...+cnxn(t)+xч(t).

5. Если х1(t) и х2(t) – решения Ур. 9 с правыми частями f1(t) и f2(t) соответственно, то

х1(t)+х2(t) будет решением уравнения x(n)(t)+an-1x(n-1)(t)+...+a1x'(t)+a0x(t)=f1(t)+f2(t).

Это свойство является принципом суперпозиции для неоднородных систем.

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка зависит от n произвольных постоянных х=х(t, с1,…,сn). Придавая постоянным с1,…,сn числовые значения, будем получать различные частные решения дифференциального уравнения.

Пример 2. Уравнение малых колебаний математического маятника

	(11)
x x 0