http://profbeckman.narod.ru/

11.3 Графические методы нахождения неподвижных точек и исследования их свойств

Графические методы исследования отображений основаны на построении

диаграмм.

Диаграмма – графическое представление данных линейными отрезками или геометрическими фигурами, позволяющее быстро оценить соотношение нескольких величин. Представляет собой геометрическое символьное изображение информации с применением различных приёмов техники визуализации.

Диаграмма Верхулста (паутина) – визуальный инструмент, применяемый в исследованиях качественного поведения одномерных итерированных функций (например, логистического отображения). Используется для изучения долгосрочного влияния начального условия при длительных итерациях.

Построение диаграмм в теории нелинейной динамики используют процесс рекурсии.

Рекурсия - процесс, с помощью которого предыдущий результат используется как вход для следующего результата. При рекурсии компьютерная подпрограмма вызывает сама себя.

Рекурсия – способ организации вычислений, при котором процедура или функция в ходе выполнения обращается сама к себе; это определение через себя, сведение общего случая к аналогичным частным случаям.

Пример. Рекурсивное определение понятия факториала N! (N 0)

1, при N 0

N!	при	N 0
N N 1!,

Здесь факториал N! выражается через факториал (N–1)!, т.е. через себя, поэтому данное определение N! является рекурсивным.

Рис. 12. Две диаграммы для последовательности an=frac12an−1+2.

При создании паутинной диаграммы для рекурсивной формулы an=f(an−1), действуйте следующим образом.

1. Графа (в той же прямоугольной системе координат) уравнения y=f(x) и y=x.

2. Начинают с точки (a1,0).

3. Проводят линию вертикально до встречи с исследуемой кривой y=f(x).

4. Проводят линию горизонтально до

встречи с исследуемой кривой y=x.

5.Возвращаются к шагу 3.

Рассмотрим диаграммы паутины для некоторых простых случаев и их результирующие графы. На рис. 12 представлены две диаграммы для последовательности an=frac12an−1+2. На обеих этих диаграммах наклон рекурсивной функции меньше единицы, и итерации паутины приближаются к пересечению функции с линией y=x Эта последовательность сходится к значению 4, решению уравнения x=f(x). Уравнение x=f(x)

называется уравнением с фиксированной точкой, а

его решение является фиксированной точкой

рекурсивного уравнения. Если первый член последовательности был решением уравнения с фиксированной точкой, то последовательность была бы постоянной.

Диаграммы паутины трёх связанных уравнений (рис. 14) демонстрирует, что в первом

http://profbeckman.narod.ru/

циклическое поведение возможно, а второй и третий графики показывают, что небольшие изменения в уравнении могут привести к тому, что итерации либо приближаются, либо расходятся с неподвижной точкой.

Рис. 13. Две диаграммы для последовательности an=2an−1−4.

Возможное поведение последовательности может быть весьма непредсказуемым. Хотя значения последовательности, изображенной ниже, полностью определяются рекурсивной формулой и явно ограничены, но они не сходятся к неподвижной точке и не являются циклическими. Фактически, за исключением того, что все значения находятся между нулем и единицей, долгосрочное поведение этой системы кажется довольно хаотичным.

На диаграммах рис. 13 наклон рекурсивной функции больше единицы, и итерации паутины расходятся от пересечения функции с линией y=x. Значения этой последовательности неограниченны.

Рис. 14. Диаграммы паутины трёх связанных уравнений.

Арифметические последовательности могут показывать только один тип конечного поведения, неограниченность (если общая разница не равна нулю). Геометрические последовательности могут быть либо неограниченными, либо сходятся к неподвижной точке. Ни арифметические, ни геометрические последовательности не проявят циклического или хаотического поведения. Классическим примером последовательности, которая показывает все эти конечные поведения, является логистическая последовательность.

Если f(x)=x для некоторого x из X (т. е. период орбиты x равен 1), то x – неподвижная точка итерированной последовательности. Множество неподвижных точек часто обозначается как Fix(f). Существует ряд теорем о неподвижной точке которые гарантируют существование неподвижных точек в различных ситуациях, например, теорема Банаха о неподвижной точке и теорема Брауэра о неподвижной точке.

Рис. 15. Графическое нахождение особых точек.

Особенно удобным способом графического представления орбиты вещественнозначной функции f является паутинная диаграмма.

Для данной итерированной функции f:R→R график состоит из диагональной (x=y) линии и кривой, представляющей y=f(x). Изучение поведения х0 ведут этапами.

http://profbeckman.narod.ru/

1.Находят точку на функциональной кривой с x-координатой х0: точка (х0.

2.Проводят горизонтальную прямую от этой точки до диагональной линии.

3.Строят вертикальную линию от точки на диагонали до функциональной кривой. При необходимости повторяют шаг 2.

На участке паутины устойчивая неподвижная точка соответствует внутренней

спирали, а неустойчивая неподвижная точка – внешней спирали. Эти спирали будут стремиться к точке, где диагональ y=x пересекает график функции. Орбита периода 2 представлена прямоугольником, в то время как более длительные циклы производят более сложные замкнутые контуры. На хаотичной орбите будет отображаться «заполненная» область, указывающая на бесконечное количество неповторяющихся значений.

Диаграммы паутины позволяют итерировать функцию полностью графическими средствами и без прибегания к аналитическим или численным методам. Рассмотрим приведенную ниже функцию f(x). Начиная с точки x0, мы можем найти следующая итерация функции x1=f(x0), просто рисуя вертикальную линию на график функции; x1 можно пометить на вертикальной оси, вычерчивая горизонтальную линию из точки пересечения.

Чтобы найти x2=f(x1), нужно переместить точку x1, отмеченную на вертикальной оси (рис.15, на ту же точку на горизонтальной оси. Это осуществляют путём нахождения пересечения горизонтальной линии с линией y=x. Так как горизонтальная линия имеет уравнение y=x1, это пересечение произойдёт в точке (x0, x1) (рис. 15а) Затем проведя вертикальную линию вниз к горизонтальной оси отмечают точку x1. Имея точку x1 на горизонтальной оси, можно найти точку x2=f(x1) проведя вертикальную линию до графика функции (рис. 15б). Этот процесс можно повторить для создания «паутинной диаграммы», которая показывает позиции последующих итераций функции (рис. 15в)

В этом примере мы видим, что итераты фиксируются в 2-цикле (который отмечен синим).

Рис. 16.Шаги метода простой итерации xn+1=cosxn с начальным значением x1=-1, итераты сходятся к неподвижной точке

х 0,739.

На паутинных диаграммах хорошо видна динамика орбит, особенно если на отрезках показаны стрелки, обозначающие направления движения.

Пример 1. Функция f(x)=x2 (рис. 17). Если начальная точка х0=0 или х0=1, т.е. х0 принимает значения неподвижных точек f, то орбиты постоянны. Если х0>1, то орбита стремится к + . Если 0<x0<1 или -1<x0<0, то орбита сходится к неподвижной точке 0. Если х0=1, то орбита принимает вид: [-1 1 1 1...], т.е. орбита является в конечном итоге периодической. Если х0<0, то xn . В этом случае говорят, что орбита расходится. В данном примере неподвижная точка 0 является притягивающей, а неподвижная точка – отталкивающей.

Пример 2. Функция f(x)=x2-1 (рис. 18). Две неподвижные

точки равны	x	1	5	. Обе они отталкивающие, т.к.
	2
|f'(x)|=2|x|>1 в	обоих		случаях. Любая неподвижная точка

f(2)(x)=(x2-1)2-1=x4-2x2 есть точка периода 2 функции f(x). В этом случае орбиты принимают вид: [x0 x1 x0 x1 x0]. Неподвижные точки f(2)(x) суть корни полинома х4-2х2-х и

равны 0, -1 и (1 5) / 2 . Две последних являются к тому

http://profbeckman.narod.ru/

же неподвижными точками f(x), поэтому они обладают периодическими орбитами наименьшего периода 1. Орбиты двух новых точек, 0 и 1: [0 -1 0 -1 0...] и -1 0 -1 0 -1 ...], имеют наименьший период 2.

Рис. 17. Паутина диаграммы итераций x0=0,5 при x2 +1,1: итераты сходятся к двум циклам в {p+, p-}≈ {0,0916, -1,0916}.

Функции х2 и х2-1 – частные случаи отображения х2+с которое часто встречается в теории нелинейной динамики. Хотя f(x)=x2+c – всего-навсего квадратичная функция, она применяется во всех областях теории, например, во множествах Мандельброта и Жюлиа, которые получаются в результате рассмотрения того же квадратичного полинома, но только с использованием комплексных чисел, вместо действительных.

Рис. 18. Функция f(x)=x2: а - х0=1,1: б - х0=-0,9

Рис. 19. Функция f(x)=x2-1; x0=-0,5.

Пусть х - действительное число. Для любого значения с неподвижные точки, которые суть решения уравнения

х2+с=х, имеют вид:	1	1 4c	,		1	1 4c	. Неподвижные
		2				2

точки будут действительными числами только, если 1-4с 0. Алгебраически несложно показать, что если с 1/4, то - < < . Кроме того, f(- )= . Орбиты для х0> и x0<- не представляют интереса, т.к. для этих случаев все они стремятся к + . Далее будем полагать, что с 1/4 и - <х0< . Для f(x0)<+ , если -2 с, то - f(x0). Три возможных случая, соответствующих –

2<c 1/4, с=-2 и с<-2, приведены на рис.5.

Пусть I – замкнутый интервал [- , ]. В случае -2 с 1/4, если х0 I, то f(x0) I и вся орбита целиком находится в I. Если с<-2 и x0 I, то возможны два случая: либо орбита остаётся в I или же в конечном счёте некоторое значение х0 становится меньше - и тогда орбиты устремляются к + .

http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 20: а –2<c 1/4, б – c=-2, в – c<2.

		Когда		-3/4<c<1/4, неподвижная точка является притягивающей, т.к.
f '( )			1			1 и все орбиты (начинающиеся в I) сходятся к . По мере того как с
				1 4c

убывает и становится меньше -3/4, величина |f'( )| возрастает и становится больше 1, т.е. становится отталкивающей. В то же время функция f(2) доставляет пару притягивающих неподвижных точек, которые приводят к появлению цикла с периодом 2 для f (рис. 21 и 22). Этот феномен наблюдался в примере 2. Говорят, что система претерпевает бифуркацию удвоения периода, когда с переходит через значение -3/4.

Рис. 21. Бифуркация удвоения периода.

Другая бифуркация удвоения периода возникает при с=-5/4. Когда с становится меньше этого значения, орбиты начинают притягиваться циклом с периодом 4. По мере того как с убывает, мы последовательно встречаем притягивающие периодические орбиты длины 8, 16 и так далее. С помощью удвоения периода система погружается в хаос.

Рис. 22. Увеличенное изображение графика f(x)=x2-0,9.

Частный случай с=-2 заслуживает особенного внимания. При этом =2, а I=[-2, 2]. Как следует из рис. 21б, график y=f(x) для х I в точности заполняет квадрат IxI, в том смысле, что

не существует меньшего квадрата со сторонами, параллельными осям координат, который был бы полностью содержал данный график. То же самое верно для y=f(2)(x), y=f(3)(x),...

Прямая у=x пересекает график y=f(n) точно 2n раз в квадрате IxI. Каждое пересечение есть не что иное, как неподвижная точка функции f(n) и, следовательно, периодическая точка с

http://profbeckman.narod.ru/

периодом n (не обязательно наименьшим). Для с=-2 существуют периодические орбиты функции f с периодами длины 2, 3, 4,...

Рис. 23. Графики f, f(2) и f(3) при с=-2.

Графически особые точки находят с помощью построения Ламерея (лестница Ламереля, рис. 24). С этой целью на графике исследуемой зависимости строят прямую, выходящую из начала координат под углом 45о. Неподвижные точки - точки пересечения исследуемой кривой с прямой линией. Далее из

некоторой начальной точки х0 строят вертикальную линии до пресечения с кривой и точку пересечения горизонтальной линией проецируют на прямую (метод линеаризации, функциональный масштаб, метод особых точек), из точки на прямой вновь проводят вертикаль до пересечения с прямой и т.д. Непрерывная кривая превращается в набор дискретных точек на прямой (кривая линеаризуется). Аналогично можно поступить с плоскостью или объёмом. Устойчивость неподвижной точки определятся по углу наклона касательной к кривой в точке её пересечения с прямой (рис. 25).

Неподвижные точки могут быть устойчивыми или неустойчивыми, аттракторами, репеллерами или нейтральными. Так, на рис. 25 точка x* (неподвижная, если x*=f(x*)) неустойчивая, точки x** и x*** – устойчивые (Точка x* – неустойчива, если |f′(x*)|>1.

Точки x**, x*** – устойчивы, если |f′(x**, x***)|<1).

Рис. 24. Особые точки отображений: а - построение прямой xn+1=xn и нахождение особых точек; б - построение Ламерея («лестница Ламерея»).

Рис. 25. Графическая оценка устойчивости точек: углы **, ***<45o, угол >45o.

В линейной системе с дискретным временем

xn+1=Bxn (17)

равновесное решение x=0 является единственным равновесием.

Существует важное различие между решениями систем непрерывного времени и решениями систем дискретного времени относительно состояния инвариантных линий, определяемых собственными векторами. Реальные собственные векторы, связанные с вещественными собственными значениями для систем разностных