http://profbeckman.narod.ru/

Траектории системы могут выглядеть беспорядочными, случайными. В этих случаях может потребоваться вычисление средних значений с использованием одной очень длинной траектории или многих разных траекторий. Средние значения хорошо определены для эргодических систем и для гиперболических систем. Понимание вероятностных аспектов динамических систем помогло установить законы статистической механики и хаоса.

Важнейшие понятия теории динамических систем – устойчивость состояний равновесия (сохранение системой своей базовой структуры и основных выполняемых функций в течение определенного времени и при относительно небольших и разнообразных внешних воздействиях и внутренних возмущениях) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях математической модели).

Устойчивость состояний равновесия – способность системы при малых изменениях начальных условий сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии.

Грубая система – система, качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом изменении параметров.

Теория устойчивости – дисциплина, изучающая закономерности поведения систем под действием внешних воздействий. В аналитическом аспекте является разделом теории дифференциальных уравнений. В прикладном аспекте наибольшее развитие получила теория устойчивости механических систем, поскольку именно механика, как старейшая наука, впервые столкнулась с проблемами устойчивости. В наиболее общем виде теория устойчивости была разработана А.М.Ляпуновым, сформулировавшим и доказавшим основные теоремы теории устойчивости движения. Важной частью теории устойчивости является проблема аналитического и практического определения запасов устойчивости сложных систем и процессов. В этой части теории устойчивости особую актуальность с развитием сложной техники приобрели задачи диагностирования и прогнозирования запасов устойчивости процессов, связанных с эксплуатацией больших технических систем.

Бифуркация – всевозможные качественные перестройки или метаморфозы различных объектов при изменении параметров, от которых они зависят.

Замечание. Разделов науки, в названия которых входит термин "динамика", довольно много. Есть динамика механических систем, регулярная и хаотическая динамика, топологическая динамика, символьная динамика и др. Мы далее будем в основном заниматься нелинейной динамикой.

9.3 Линейные динамические системы

Математически динамическая система определяется ее состоянием и динамикой. Классический пример динамической системы – маятник.

Динамика линейна, если причинная взаимосвязь между текущим состоянием системы и её последующим состоянием линейна.

Линейная динамическая система – система, эволюция которой во времени можно описать линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений (для систем с дискретным временем -линейным разностным уравнением).

В математической модели линейной системы это означает, что оператор преобразования "вход-выход" линеен. Иногда линейное свойство системы называют принципом суперпозиции.

Условия линейности:

–гомогенность – при изменении амплитуды входного сигнала в k раз также в k раз изменяется и амплитуда выходного сигнала;

–аддитивность – при суммировании входных сигналов результирующий сигнал на выходе будет равен сумме реакций от исходных сигналов;

http://profbeckman.narod.ru/

–инвариантность – когда смещение входного сигнала во времени вызывает аналогичное смещение выходного сигнала; статическая линейность – когда основные законы в системе описываются линейными уравнениями;

–гармоническая верность – если на вход системы подать синусоидальный сигнал, то на выходе будет сигнал той же частоты.

Свойства линейных систем:

–порядок установки линейных систем не влияет на результирующий сигнал;

–любая сложная система будет линейна, если составлена из линейных систем и блоков суммирования;

–перемножение сигнала на константу является линейной операцией, а перемножение двух сигналов – нелинейной.

Вприкладной математике линейным принято называть вычислительный процесс, в котором операции выполняются последовательно, в порядке их записи. Каждая операция является самостоятельной, независимой от каких-либо условий.

Линейные системы важны для понимания процессов классической механики, в теории электричества и сопротивления материалов, в баллистике и т.п. К линейному миру относится квантовая механика, которая до сих пор принципиально линейна.

Процессы в линейных системах описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Основными свойствами таких уравнений являются однозначность, единственность и точность решений, что соответствует представлениям о детерминизме и однозначности причинно-следственных связей. Именно эти свойства системы дают возможность научного эксперимента – возможности воспроизвести явление в разных лабораториях в разное время.

Линейный математический аппарат хорошо разработан, причем требуемые результаты могут быть получены различными способами. Линейные системы важны для понимания поведения сложных, нелинейных динамических систем. При этом используется тот факт, что фазовые траектории в районе точек равновесия могут быть линеаризованы, и задачи решены методами линейной алгебры.

9.4 Нелинейные динамические системы

Классический математический аппарат естествознания базируется на линейной основе, причём равным изменениям одной (независимой) величины отвечают равные перемены в зависимой. Однако по мере развития науки было установлено, что возможности линейного подхода для описания реальных систем весьма ограничены: линейная зависимость не обладает избирательностью, не может описывать ни резонансных всплесков, ни насыщения, ни колебаний, ни хаоса – ничего, кроме равномерного роста или убывания.

Нелинейное мышление – мышление, рассматривающее поведение любых объектов с использованием таких параметров, как пороговость, насыщение, наличие обратных связей. Воздействие влияет на систему только тогда, когда оно превосходит пороговое значение его восприятия системой. Однако при превышении воздействием определенной величины, система уже не реагирует на это превышение, а итоговый отклик на несколько воздействий не равен сумме откликов на каждое воздействие в отдельности. С позиций нелинейного мышления все реальные системы – нелинейны и могут считаться линейными лишь приближенно.

Нелинейная наука – научное направление, исследующее процессы в открытых нелинейных сферах. Она включает в себя комплекс близко родственных смежных научных дисциплин: термодинамику необратимых процессов, теорию катастроф, синергетику или теорию самоорганизующихся систем. Методы нелинейной науки находят широкое применение не только в естественно-научных исследованиях, но также в сфере гуманитарных дисциплин (социология, демография, образование и др.).

http://profbeckman.narod.ru/

Нелинейная динамика – междисциплинарная наука, направленная на изучение свойств нелинейных динамических систем. Использует для описания систем нелинейные модели, описываемые дифференциальными уравнениями и дискретными отображениями. Включает в себя теорию устойчивости, теорию динамического хаоса, эргодическую теорию, теорию интегрируемых систем и теорию катастроф.

Необходимость адекватного описания реальных сред потребовала перехода на нелинейный математический аппарат. Нелинейный эффект – это эффект, математически описываемый некоторой нелинейной зависимостью. Математически такого рода зависимости выражаются нелинейными функциями одного или нескольких переменных. Геометрический образ нелинейной функции – кривая на плоскости, искривленная поверхность или гиперповерхность в пространстве трёх или большего числа измерений. На одинаковые приращения независимой переменной одна и та же нелинейная функция откликается по-разному в зависимости от того, какому значению независимой переменной придаётся приращение. Почти полным безразличием к изменению одних и повышенной чувствительностью к изменению других значений независимой переменной нелинейные функции разительно контрастируют с линейными. В какой бы области естествознания ни возникала нелинейность явлений, она глубоко функциональна. В физике нелинейность - это учёт различного рода взаимодействий, обратных влияний и тонких эффектов, ускользающих от более грубых сетей линейной теории. В биологии нелинейность позволяет системам охватить громадный диапазон жизненно значимых воздействий среды. Использование нелинейных математических моделей позволяет объединить и описать большой круг разрозненных явлений, обнажить их глубинную сущность.

В прошлом физика знала немало нелинейных теорий, например, в сфере гидродинамики и небесной механики. Но в целом классический подход нельзя назвать нелинейным. Активное внедрение нелинейных теорий в естествознание началось с развитием теории теплопроводности и диффузии. Теории этих явлений аналогичны: в линейном приближении законы Фурье и Фика устроены одинаково, уравнения теплопроводности и диффузии с точностью до обозначений совпадают. Если создать начальное возмущение температуры или концентрации, то со временем оно рассосётся, распределение температуры и концентрации будет стремиться к постоянному значению. Однако выяснилось, что если диффузия сопровождается химической реакцией или теплопроводность наблюдается в среде с распределенными источниками тепла, то начальное возмущение может переходить в бегущую волну, движущуюся со скоростью, намного превышающей скорость диффузии. Важность такого открытия станет ясной, если учесть, что такие системы описывают процессы, происходящие при горении газовых смесей, распространении нервного импульса, транспорта ионов через клеточные мембраны, динамику популяций различных организмов и многое другое. Диффузия оказалась одной из первых наук, в которой начался переход от линейного математического аппарата.

Основные свойства нелинейных динамических систем:

–изменения на выходе системы не пропорциональны изменениям на входе;

–протекающие системе процессы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями (уравнение содержит член с порядком 2 и выше);

–меняет свойства под действием проходящих через неё потоков (вещества, энергии, информации);

–не действует принцип суперпозиции (наложения), т. е. совместные действия причин А и В вызывают эффекты, которые не имеют ничего общего с результатами воздействия А и В по отдельности;

–частота выходного сигнала зависит от его амплитуды и др.;

–процессы часто носят пороговый характер - при плавном изменении внешних условий поведение системы изменяется скачком.

http://profbeckman.narod.ru/

–сильно подвержены влиянию случайных, малых воздействий, порождаемых неравновесностью;

–нелинейные уравнения могут иметь несколько решений в зависимости от начальных условий

–демонстрируют колебания и хаотическое поведение;

–создают и поддерживают неоднородности в среде; между системой и средой могут создаваться отношения обратной положительной связи, т.е. система влияет на свою среду таким образом, что в среде вырабатываются условия, которые, в свою очередь, обуславливают изменения в самой этой системе; последствия таких эффектов могут быть самыми неожиданными и необычными;

–устойчивое равновесие при непрерывном изменении параметров системы может стать неустойчивым, а непрерывный процесс с течением времени может стать разрывным.

–сложные системы невозможно свести к простой сумме её частей;

–являются эргодическими.

Эргодичность – свойство некоторых динамических систем, состоящее в том, что в процессе эволюции почти каждое состояние с определённой вероятностью проходит вблизи любого другого состояния системы.

Эргодическая теория – раздел общей динамики. Возникла в связи с задачей замены средних значений, взятых по фазовому пространству, временными средними. Состояние некоторой физической системы, например, какого-либо объёма газа, определяется импульсами и координатами составляющих её частиц, т.е. 6N величинами (N – число частиц). Возможные состояния системы удобно представлять себе как точки 6N-мерного пространства – фазового пространства, а её эволюцию с течением времени – как некоторое движение (траекторию) в этом пространстве. Различные физические величины, связанные с данной системой (температура, давление и т.п.), являются функциями координат и импульсов, составляющих систему частиц, т.е. функциями точки её фазового пространства. Система является эргодической, если её фазовое пространство нельзя разбить на сумму двух инвариантных (т.е. состоящих из целых траекторий) множеств, каждое из которых имеет положительный объём.

Нелинейные системы могут казаться хаотичными, непредсказуемыми или противоречивыми, в отличие от простых линейных систем. Математическое описание нелинейной системы намного сложнее, чем линейной (часто оно вообще невозможно).

Нелинейность – свойство системы иметь в своей структуре различные стационарные состояния, соответствующие различным допустимым законам поведения этой системы.

Нелинейная система – динамическая система, в которой протекают процессы,

описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями.

В отличие от линейных систем, подсистемы которых слабо взаимодействуют между собой и практически независимо входят в систему, поведение каждой подсистемы в нелинейной системе определяется в зависимости от координации с другими. Идея нелинейности включает в себя многовариантность, альтернативность выбора путей эволюции и ее необратимость.

Факт, что нелинейные системы и процессы широко распространены в природе, известен давно.

Например, природные объекты иерархически структурированы в разные виды открытых нелинейных систем: динамически стабильные, адаптивные и эволюционирующие. Связь между ними осуществляется через хаотическое, неравновесное состояние систем соседствующих уровней. Неравновесность – необходимое условие появления новой организации, нового порядка, новых систем. Когда нелинейные динамические системы объединяются, новое образование не равно сумме частей, а образует систему другой организации или систему иного уровня. Общее для всех эволюционирующих систем: неравновесность, спонтанное образование новых локальных

http://profbeckman.narod.ru/

образований, изменения на макроскопическом уровне, возникновение новых свойств системы, этапы самоорганизации и фиксации новых качеств системы. Развивающиеся системы всегда открыты и обмениваются энергией и веществом с внешней средой, за счёт чего и происходят процессы локальной упорядоченности и самоорганизации. В сильно неравновесных состояниях системы начинают воспринимать те факторы воздействия извне, которые они бы не восприняли в более равновесном состоянии. В неравновесных условиях относительная независимость элементов системы уступает место корпоративному поведению элементов: вблизи равновесия элемент взаимодействует только с соседними, вдали от равновесия – «видит» всю систему целиком и согласованность поведения элементов возрастает. В состояниях, далёких от равновесия, действуют бифуркационные механизмы – наличие кратковременных точек раздвоения перехода к долговременному режиму системы – аттрактору. Заранее невозможно предсказать, какой из возможных аттракторов займёт система.

Появление компьютеров и численных алгоритмов решения дифференциальных уравнений, позволило несколько продвинуть теорию нелинейных систем. При этом алгоритмы описания динамических систем оказались сильно геометрически ориентированными. Однако количественного подхода до сих пор создать не удалось. Вместо количественных решений (которые могут быть получены практически всегда только численно) изучаются качественные аспекты проблемы. Определяется тип решений, их устойчивость, выясняются возможности бифуркаций, катастроф и т.п.

В настоящее время важность нелинейной механики заключается в исследовании динамического хаоса, т. е. нерегулярных решений детерминированного уравнения движения. Такое поведение, невозможное в линейной динамике, вызывает большой интерес, особенно в связи с тем, что хаотическое поведение возникает в очень простых выражениях. Такого от них никто не ожидал.

Замечание. То, что в сложной системе возможны качественные изменения характера движения при непрерывном изменении параметров системы (бифуркации), потеря устойчивости, приводящая к стохастичности движения (динамический хаос), известно давно. Их возникновение связано со случайностью движения очень большого числа частиц, с большим числом степеней свободы. Удивительным оказалось, что нелинейная простая система, состоящая всего из двух-трёх частиц, может обладать вышеперечисленными и многими другими аномальными свойствами, никак не проявляющимися в линейных системах.

Нелинейность внедряется сейчас даже в квантовую механику, хотя она этому активно сопротивляется. Предпринимаемые сейчас попытки великого объединения всех фундаментальных физических теорий, таких как теория струн и конформная теория поля, ведутся именно в нелинейной сфере. По этой причине анализ нелинейных систем активно развивается, но на этом пути возникли существенные трудности, в каком-то смысле даже непреодолимые. В нелинейном математическом аппарате многие важные вопросы остаются без ответа; некоторые нелинейные уравнения принципиально не могут быть решены; существование и уникальность решений не гарантировано; явные формулы трудно найти; линейная суперпозиция здесь уже недоступна; численные аппроксимации не достаточно точны, и т. д. и т. п.

В связи с неразвитостью современной математики, нелинейной динамике приходится использовать многие методы линейной динамики. Они играют роль фундамента, с которого начинается атака на нелинейность. Кроме того, многие важные физические системы «слабо нелинейны» в том смысле, что, хотя нелинейные эффекты играют некоторую роль, линейные члены доминируют, и поэтому в первом приближении система близка к линейной. В результате основные нелинейные явления могут быть поняты путем соответствующего возмущения их линейных приближений. К счастью,, существуют нелинейные уравнения, которые поддаются сравнительно простой

http://profbeckman.narod.ru/

линеаризации. Впрочем, комбинируя численные и аналитические методы, можно добиться разумных результатов и в решении линейных задач.

Вповедении нелинейных систем существует постоянное балансирование между чётким порядком, свойственным линейным системам и полным хаосом. Некоторые эффекты нелинейности, например, гомеостаз, самоорганизация, самосинхронизация, накопление малых воздействий, аттракторы противодействуют хаотическим тенденциям, переводят систему в более организованное состояние. Напротив, неустойчивость, бифуркации, цепные реакции, самоорганизованная критичность, самовозбуждение колебаний, эффект запаздывания ответа, гигантские флуктуации, перемежаемость, разрывные функции и скачки, странные аттракторы переводят систему в менее организованное состояние, способствуют хаотическим тенденциям. Размерные эффекты, фракталы, степенное распределение вероятностей, самовозбуждение колебаний могут приводить как к повышению, так и понижению организации.

Система нелинейна, если в разное время, при разных внешних воздействиях её поведение определяется различными законами. Эволюция поведения (и развития) данного типа систем сложна и неоднозначна, поэтому внешние или внутренние воздействия могут вызвать отклонения такой системы от её стационарного состояния в любом направлении. Одно и то же стационарное состояние такой системы при одних условиях устойчиво, а при других – не устойчиво (тогда система может перейти в другое стационарное состояние). Подобные эффекты затрудняет прогнозирование и управление сложными системами, а часто делает то и другое невозможным.

Нелинейность рассматривается как необычная реакция на внешние воздействия, когда «правильное» воздействие оказывает большее влияние на эволюцию системы, чем воздействие более сильное, но организованное неадекватно её собственным тенденциям. Здесь важен механизм резонансного возбуждения: система, находящаяся в неравновесном состоянии, чутка к воздействиям, согласованным с её собственными свойствами. Поэтому флуктуации во внешней среде оказываются не «шумом», а фактором генерации новых структур. Малые, но согласованные с внутренним состоянием системы внешние воздействия на неё могут оказаться более эффективными, чем большие. Нелинейные системы демонстрируют неожиданно сильные ответные реакции на отвечающие их внутренней организации резонансные возмущения.

Врезультате встречного действия различных эффектов, нелинейная система находится обычно в промежуточном состоянии между полностью упорядоченным и хаотическим, причем возможны разные варианты:

–Соотношение порядок/хаос меняется во времени, система становится более организованной, затем скатывается к хаосу, потом снова организуется и т.п.

–Соотношение порядок/хаос меняется в пространстве: в системе чередуются зоны высокой организации и хаотичности, причем эти зоны могут менять свое положение и степень организации

–Система приобретает фрактальную структуру, в которой сочетаются элементы порядка и хаоса фактически в каждой точке пространства и/или в каждый момент времени.

Наиболее частый случай в сложных нелинейных системах – сочетание всех трёх способов баланса между порядком и хаосом.

Если линейные системы, описываемые простыми уравнениями, отличаются простым поведением, то в нелинейном мире простые детерминистские уравнения характеризуются разнообразным поведением. С другой стороны, сложное и кажущееся хаотичным поведение может породить упорядоченные структуры, тонкие и изящные паттерны (картины, узоры). Важно, что расчёты по нелинейным строго детерминированным уравнениям не при водят к точным предсказаниям.

Существуют два основных подхода к изучению динамических систем: геометрический подход (основанный на теории дифференциальных/разностных уравнений) и эргодический подход (основанный на аксиоматике теории вероятностей).

http://profbeckman.narod.ru/

При применении их описанию нелинейных динамических систем математический аппарат существенно усложняется, поскольку нелинейные модели обнаруживают эффекты, невозможные в линейных системах.

Нелинейная динамика изучает системы, изменяющие свои свойства под действием проходящих через них потоков (вещества, энергии, информации), в которых не действует принцип суперпозиции. Для нелинейной системы характерны такие эффекты, как детерминированный (динамический хаос), степенное распределение вероятностей, непредсказуемость критической эволюции, управляемость эволюции, типовые признаки наступления кризиса, свойство самоорганизации (самоусложнения). Нелинейные системы

– это неравновесные системы с избирательным характером реакции на внешние воздействия среды, со способностью активно воспринимать различия во внешней среде и «учитывать» их в своем функционировании на основе положительной обратной связи и скачкообразным характером поведения, приводящим к радикальному качественному изменению системы.

Важная особенность нелинейных систем – возможность самоорганизации: элементы внутри системы влияют друг на друга, создавая порядок в системе. Задача теории нелинейных динамических систем состоит в нахождении и исследовании моделей самоорганизации, т. е. спонтанного образования, развития и функционирования сложных упорядоченных структур, Основные принципы этой науки: системность, нелинейность, самоорганизация. Это направление включает кибернетику, занимающуюся управляемыми системами (поддержание устойчивости путём использования отрицательной обратной связи), общую теорию систем (принципы организации систем: дискретность, иерархичность и т.п.) и теорию хаоса (неравновесность, нестабильность как естественное состояние открытых нелинейных систем, множественность и неоднозначность путей их эволюции). Проблема исследования сложных систем заключается в наличии сложной иерархии достаточно автономных подсистем. Системы верхнего уровня управляют нижележащими системами, однако это управление не является прямым, «директивным», подчиняющим. Управляющие команды подготавливают возможные переходы нижележащих подсистем из одного состояния в другое.

Обладая сложной внутренней структурой, каждая подсистема при выходе на следующий уровень во взаимодействиях с другими подсистемами проявляет себя не многочисленными внутренними элементами низшего уровня, а существенно меньшим количеством параметров порядка и управления. Эти параметры играют важную роль в сложных системах, определяя характер и направление развития, задают набор возможных финальных состояний. Параметры порядка могут появляться или качественно изменять свои значения при изменении управляющего параметра. Они изменяют свое значение медленно, в то время как подчиненные части изменяются быстро. При определенных условиях возникают критические колебания в системе, в результате чего порождаются новые параметры порядка, между ними начинается конкуренция, исход которой зависит от структуры и топологии системы. Упорядоченное состояние системы устанавливается тогда, когда один из параметров выигрывает или достигается определенная форма кооперации между ними. Можно сказать, что параметры порядка и управления позволяют достаточно просто описать процессы нижележащей системы в терминах, единых для уровня более высокого. Управляющие параметры должны сохраняться намного дольше, чем первичные элементы системы; требуется, чтобы они были устойчивы во времени и взаимосвязаны с элементами системы. Эти параметры не только довлеют над элементами, заставляя их следовать стандартным паттернам развития, функционирования, но и реализуют принцип обратной связи.

Теория выделяет и анализирует ситуации неустойчивости и нелинейности в процессах, находит точки, где теряется единственность решений (точки бифуркаций), исследует параметры управления и порядка, а также зависимости процессов от принимаемых этими параметрами значений. Математика динамических сложных систем