- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
- •1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
- •1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
- •Преобразование Лапласа и его приложения
- •1.1. Свойства преобразования Лапласа
- •2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
- •Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений
- •Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2.5. Индивидуальные задания
- •Ответы к индивидуальным заданиям
- •Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
- •3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
- •3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля
- •3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля
- •3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
- •3.5. Уравнение колебаний струны
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
- •4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- •4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне
- •4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
- •4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
- •4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах
- •5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
- •5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат
- •5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
- •5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
- •5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
- •5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
- •5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
- •Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
- •5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
- •6. Элементы теории специальных функций
- •6.1. Недостаточность элементарных функций для решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, как источник функций
- •6.2. Гипергеометрическое уравнение и функции гипергеометрического типа
- •6.3. Частные случаи гипергеометрической функции: цилиндрические функции Бесселя
- •6.4. Частные случаи гипергеометрической функции: ортогональные полиномы Лежандра
- •7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений
- •7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость
- •7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости
- •7.4. Свойства степенных рядов
- •7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами
- •7.6. Разложение функций в степенные ряды
- •7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.1. Необходимость асимптотических методов
- •8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
- •8.3. Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда
- •8.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
- •8.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре
- •1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4
- •2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19
- •2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38
- •3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133
- •6. Элементы теории специальных функций.........................179
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений ….........................................221
- •9. Список литературы………………………………………..247
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Ответы к индивидуальным заданиям
1. a) да; б) да; в) нет; г) да; д) да; е) нет; ж) нет; з) да;
и) нет; к) да; л) да; м) да. 2. . 3. . 4. .
5. . 6. Нет. 7. . 8. . 9. .
10. . 11. . 12. а) ; б) . 13. .
14. . 15. . 16. .
17. . 18. .
19. . 20. . 21. .
22. . 23. . 24. .
25. . 26. . 27. . 28. .
29. . 30. . 31. .
32. . 33. . 34. а) ;
б) . 35. . 36. . 37. .
38. . 39. .
40. . 41. . 42. . 43. .
44. . 45. .
46. . 47. . 48. . 49. .
50. . 51. .
52. .
53. .
54. .
55. .
56. . 58. .
59. . 60. .
61. . 62. .
63. . 64. . 65. .
66. . 67. . 68. . 69. .
70. . 71. . 72. .
73. .
74. .
75. . 76. .
77. .
78. . 79. .
80. .
81. .
82. .
83. .
84. .
85. .
86. .
87.
88. .
89. . 90. .
91. . 92. . 93. .
94. . 95. . 96. .
97. . 98. .
99. .
100. .
101. .
102. .
103. . 104. .
105. .
106. .
107. .
108. .
109. .
110. .
111. .
112. .
113. .
114. . 115. .
116. .
117. .
118. .
119. .
120. . 121. .
122. . 123. .
124. . 125. .
126. .
127. .
128. .
129. . 130. .
131. .
132. .
133. .
134. .
135. .
136. . 137. .
138. .
139.
.
140. .
141. .
142. .
143. .
144. . 145. .
146. .
147. .
148. .
149. .
150. .
151. .
152. . 153. .
154. .
155. .
156. . 157. .
158. .
159. .
160.
161.
162. .
163
164. .
165.
166. .
167. .
168. .
169. .
170. .
171. .
172. ,
.
173. ,
,
.
174. . 175.
176. ,
.
177. .
178. .
Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
Уравнение, связывающее неизвестную функцию , независимые переменные и частные производные от функции называется дифференциальным уравнением с частными производными
(3.1)
где - заданная функция своих аргументов.
Порядок старшей производной, входящей в уравнение (3.1), называется порядком уравнения с частными производными.
Уравнение с частными производными называется квазилинейным, если оно линейно относительно всех старших производных от неизвестной функции. Например, уравнение
является квазилинейным уравнением второго порядка, - заданные функции.
Уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно и относительно неизвестной функции, и относительно ее частных производных. Примером линейного уравнения второго порядка является уравнение
где - заданные функции, - неизвестная функция.
Решением уравнения с частными производными (3.1) называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение вместо неизвестной функции и ее частных производных, обращаем это уравнение в тождество по независимым переменным.
Например, уравнение
имеет решение , где - любая дифференцируемая функция.
Упражнение. Проверьте последнее утверждение. Покажите также, что любая дифференцируемая функция является решением уравнения
.
Многие задачи математики, физики, различных областей техники приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Удивительно то, что весьма многие задачи из разных отраслей знания приводят к одним и тем же уравнениям.
Из всех известных уравнений с частными производными, наиболее часто встречающимися при описании различных физических явлений и наиболее хорошо изученными математиками, являются уравнения, названные основными уравнениями математической физики.
Математическая физика – это область феноменологической физики, работающей с идеей непрерывных сред, в противоположность атомистической физики, выдвинувшейся на передний план в начале 20-го века.
Перечислим основные уравнения математической физики.
Обозначим через - пространственные декартовы координаты точки, через - время, - заданную функцию, - заданную постоянную (имеющую в каждом уравнении свой физический смысл), - неизвестную функцию, - оператор Лапласа
Тогда основные уравнения математической физики записываются в следующем виде:
Уравнение Лапласа
.
Потенциалы поля тяготения и стационарного электрического поля (в котором отсутствуют массы и электрические заряды)
удовлетворяют этому уравнению. Оно описывает также потенциальное течение жидкости, потенциал стационарного тока и другие явления;
Уравнение Пуассона
описывает установившееся тепловое состояние однородного и изотропного твердого тела при наличии источников тепла, потенциал электрического поля при наличии зарядов и др.;
Уравнение теплопроводности
описывает процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, а также явление диффузии газов;
Волновое уравнение
описывает распространение упругих, звуковых и электромагнитных волн, а также другие колебательные явления.
Кроме этих классических уравнений известны и другие замечательные уравнения, которые изучались уже в 20-ом столетии и которые имеют первостепенное значение и для науки, и для технических приложений. К таковым относятся:
Уравнение Шредингера
описывает движение субатомных частиц в поле потенциала , где - комплексная функция, квадрат модуля которой определяет плотность вероятности нахождения частицы в данный момент времени в точке
Уравнение Синус - Гордона
описывает квантовые поля, самоиндуцированную прозрачность идеального диэлектрика, при взаимодействии его с электромагнитным полем на резонансных частотах, двумерные поверхности с постоянной отрицательной кривизной, описывает также солитоны – уединенные волны, ведущие себя подобно обычным частицам и т.д.;
Уравнение Кортевега - де Фриза
описывает уединенные волны на поверхности жидкости, плазменные волны, слабонелинейные магнитогидродинамические волны и другие процессы.
Уравнение Бюргерса
описывает турбулентное течение, звуковые волны в вязкой среде, магнитогидродинамические волны в среде с конечной электропроводимостью и другие явления.
Последние три уравнения являются нелинейными уравнениями с частными производными. Они служат продуктивной моделью для описания нелинейных эффектов при распространении волн и учитывают конкуренцию факторов нелинейности, диссипации и дисперсии.