- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
- •1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
- •1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
- •Преобразование Лапласа и его приложения
- •1.1. Свойства преобразования Лапласа
- •2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
- •Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений
- •Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2.5. Индивидуальные задания
- •Ответы к индивидуальным заданиям
- •Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
- •3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
- •3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля
- •3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля
- •3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
- •3.5. Уравнение колебаний струны
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
- •4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- •4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне
- •4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
- •4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
- •4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах
- •5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
- •5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат
- •5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
- •5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
- •5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
- •5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
- •5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
- •Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
- •5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
- •6. Элементы теории специальных функций
- •6.1. Недостаточность элементарных функций для решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, как источник функций
- •6.2. Гипергеометрическое уравнение и функции гипергеометрического типа
- •6.3. Частные случаи гипергеометрической функции: цилиндрические функции Бесселя
- •6.4. Частные случаи гипергеометрической функции: ортогональные полиномы Лежандра
- •7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений
- •7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость
- •7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости
- •7.4. Свойства степенных рядов
- •7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами
- •7.6. Разложение функций в степенные ряды
- •7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.1. Необходимость асимптотических методов
- •8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
- •8.3. Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда
- •8.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
- •8.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре
- •1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4
- •2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19
- •2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38
- •3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133
- •6. Элементы теории специальных функций.........................179
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений ….........................................221
- •9. Список литературы………………………………………..247
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
В качестве примера определения постоянных и в решении уравнения Лапласа рассмотрим следующую краевую задачу. Найти распределение потенциала внутри прямоугольного параллелепипеда, на пяти гранях которого потенциал равен нулю, а на одной грани принимает заданные значения (см. рисунок 11)
Задача заключается в нахождении решения уравнения
, (5.28)
удовлетворяющего следующим граничным условиям
, (5.29)
, (5.30) , . (5.31)
Для решения краевой задачи (5.28)-(5.31) возьмем решение уравнения Лапласа в виде суперпозиции функций (5.15)
, (5.32)
Ф=V
(x,y)
z
c
Ф=0
Ф=0
y
a
b
x
Ф=0
Рис. 11
где все – постоянные. Используем условие в (5.29) на границе . Учитывая, что
,
собирая члены, содержащие и , получим
.(5.33)
Используя формулу сложения гармоник
, (5.34)
где , , преобразуем (5.33) к виду
, (5.35)
, ; , .
Для преобразования левой части граничного соотношения (5.35) воспользуемся снова формулой сложения синусоидальных величин 8]
, (5.36)
, .
В результате применения формулы (5.36) получим окончательный вид граничного условия при :
, (5.37)
,
.
Условие (5.37) должно выполняться при и для всех значений y и z, удовлетворяющих равенствам , . Отсюда следует, что . Это, в свою очередь влечет выполнение равенств .
Таким образом, чтобы решение (5.32) удовлетворяло граничному условию при нужно в решении (5.32) сохранить лишь функции
. (5.38)
Потребуем теперь выполнение граничного условия при – первого из условий (5.30). Из вида функций в формулах (5.15) замечаем, что при , а функции и в ноль не обращаются. Проведя рассуждения, подобные тем, что привели нас к виду граничного условия (5.37) при , получим, что для выполнения условия при в выражение для потенциала принимает вид
. (5.39)
Граничное условие при (5.32) приводит к требованию и следующему виду искомого решения
,(5.40)
где , , - произвольные постоянные.
Из граничного условия (5.29) при следует с учетом вида (5.40)
, .
Аналогично условие при в соответствии с (5.30) приводит к определению значений параметра :
, .
Из последних двух соотношений получаем
.
В результате учета полученных следствий граничных условий на пяти гранях параллелепипеда можем записать частное решение уравнения Лапласа
. (5.41)
которое удовлетворяет всем граничным условиям, кроме условия на грани . Здесь мы положили .
Очевидно, что решение (5.41) не удовлетворяет, вообще говоря, условию , поскольку заданная на этой грани функция в достаточной мере произвольна. Для учета граничного условия на грани считаем, что потенциал можно разложить в двойной ряд по функциям вида (5.41)
. (5.42)
Коэффициенты этого ряда должны определяться из последнего граничного условия в (5.31)
. (5.43)
Соотношение (5.43) представляет собой разложение функций в двойной ряд Фурье по синусам. Как известно, из теории рядов Фурье для функций двух переменных 9], коэффициенты Фурье вычисляются по формулам
. (5.44)
Таким образом, решение уравнения Лапласа (5.28), удовлетворяющее граничным условиям (5.29) - (5.31), дается выражениями (5.42) и (5.44). Эти формулы определяют потенциал внутри параллелепипеда.
Если потенциал отличен от нуля на всех гранях параллелепипеда, то искомое решение внутри объема можно получить как линейную комбинацию шести решений типа (5.42), (5.44), соответствующих каждой грани.