- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
- •1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
- •1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
- •Преобразование Лапласа и его приложения
- •1.1. Свойства преобразования Лапласа
- •2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
- •Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений
- •Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2.5. Индивидуальные задания
- •Ответы к индивидуальным заданиям
- •Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
- •3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
- •3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля
- •3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля
- •3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
- •3.5. Уравнение колебаний струны
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
- •4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- •4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне
- •4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
- •4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
- •4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах
- •5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
- •5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат
- •5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
- •5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
- •5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
- •5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
- •5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
- •Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
- •5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
- •6. Элементы теории специальных функций
- •6.1. Недостаточность элементарных функций для решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, как источник функций
- •6.2. Гипергеометрическое уравнение и функции гипергеометрического типа
- •6.3. Частные случаи гипергеометрической функции: цилиндрические функции Бесселя
- •6.4. Частные случаи гипергеометрической функции: ортогональные полиномы Лежандра
- •7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений
- •7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость
- •7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости
- •7.4. Свойства степенных рядов
- •7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами
- •7.6. Разложение функций в степенные ряды
- •7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.1. Необходимость асимптотических методов
- •8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
- •8.3. Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда
- •8.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
- •8.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре
- •1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4
- •2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19
- •2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38
- •3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133
- •6. Элементы теории специальных функций.........................179
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений ….........................................221
- •9. Список литературы………………………………………..247
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
В цилиндрических координатах , показанных на рис. 9, уравнение Лапласа принимает вид
. (5.45)
Для перехода к такой форме лапласиана в цилиндрических координатах нужно в формуле (5.3) преобразовать первый член, выполнив дифференцирование по . Для разделения переменных произведем подстановку в уравнении (5.45)
, (5.46)
после чего разделим обе части полученного уравнения на произведение функций (5.46). В результате имеем
, (5.47)
где штрихи над буквами обозначают производные по соответствующим аргументам, – параметр разделения. Параметр остается произвольным пока не наложены граничные условия в направлении . Основанием для приравнивания выражений в (5.47) постоянной является тот факт, что левая часть равенства зависит от и , а правая только от , и равенство должно выполняться для всех значений .
Из соотношений (5.47) вытекают следующие дифференциальные уравнения
, (5.48)
. (5.49)
Частными решениями уравнения (5.48), получаемыми с помощью характеристического уравнения, являются функции или в действительной форме
, .
Для нахождения решения уравнения (5.49), включающего две неизвестные функции , преобразуем его к виду
, (5.50)
где – постоянная разделения. Основания для приравнивания отношений константе такие же что и в случае (5.47).
Приравнивая каждое отношение в (5.50) постоянной разделения , получим дифференциальные уравнения для функций :
, (5.51)
. (5.52)
Первое из этих уравнений имеет решения , или в действительной форме
, .
Для того чтобы решение было однозначным, параметр разделения должен быть целым числом.
Если в уравнении (5.52) сделать замену независимой переменной , то оно принимает вид стандартного уравнения Бесселя
. (5.53)
Его решения для целых значений параметра – функции Бесселя и функции Неймана порядка [11]
,
.
Представление функций Неймана в виде ряда можно найти в математических справочниках. Для приближенных расчетов можно использовать нижеследующие асимптотические выражения для этих функций.
При
где – гамма-функция, – действительное и неотрицательное число.
При ,
,
Переход от области «малых» значений к области больших значений имеет место при .
5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
Решение краевых задач для уравнения Лапласа ряда простейших областей (прямоугольник, круг, цилиндр, шар и некоторых других) можно найти методом разделения переменных. В этом разделе рассматривается задача Дирихле, для решения которой используются только элементарные функции.
Для уравнения Лапласа справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пусть ограниченная область Ω пространства имеет кусочно-гладкую (поверхность Г для трехмерной области Ω или кривую Г для двумерной области). Пусть на границе области Г задана непрерывная функция (или ), если Ω - область плоскости. Тогда существует на замкнутой области Ώ = Ω + Г единственная непрерывная функция (или ) гармоническая на Ω и такая, что
(или в случае двумерной области Ω).
Эта задача, как отмечалось в п.5.1, называемая задачей Дирихле, хорошо исследована в математической физике. Известны ее решения в аналитической форме и различные приближенные методы решения. Сформулированная выше теорема имеет простую физическую интерпретацию, если под функцией понимать температуры тела в точке . Действительно, если на границе Г тела Ω все время поддерживать температуру , равную , где – заданная непрерывная на границе тела функция, то внутри тела установится вполне определенная (единственная в каждой точке тела) температура .
Рассмотрим решение задачи Дирихле для плоской области с частным видом граничного условия. Пусть на плоскости имеется круг радиуса c центром в начале координат и на его границе – окружности, задана функция , где – полярный угол. Требуется найти функцию непрерывную в круге и на его границе, удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа.
Таким образом, уравнения задачи Дирихле имеют вид
, Ω , (5.54)
, (5.55)
где – полярные координаты точки, Ω – открытый круг, Г - ограничивающая область Ω окружность, - заданная на границе функция.
Из уравнения (5.45) получаем уравнение для функции ), не зависящей от
или
. (5.56)
Будем решать задачу методом разделения переменных, т.е. будем искать частное решение уравнения (5.56), вида
. (5.57)
Подставляя предполагаемую форму решения (5.57) в уравнение (5.56), получим
.
Разделяя переменные, имеем
. (5.58)
Так как левая часть не зависит от , а правая от , то они равны постоянной, которую обозначили . Из равенств (5.58) получаем два дифференциальных уравнения
, (5.59)
. (5.60)
Уравнение (5.59) является дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Частное решение его ищем в виде для . Подставив эту функцию в уравнение получим характеристическое уравнение , .
Общее решение уравнения (5.59) является линейной комбинацией его частных решений с найденными значениями
.
Поскольку решение должно периодически зависит от (для однозначности решения в точках =0, 2π, …), то число должно быть целым и при этом можно ограничиться натуральными значениями . Заметим, что если бы отношения в (5.58) приравняли - , то не получили бы периодической зависимости от . Таким образом, общее решение уравнения (5.59) можно записать для так
. (5.61)
Решение уравнения (5.60) будем искать в виде
.
Подставим в уравнение (5.60) эту функцию при , получим
,
т.е. . Отсюда для получим решение
. (5.62)
Поскольку решение должно быть конечным при (это понятно и из физических соображений), то . Подставим выражения (5.61) и (5.62) в формулу (5.57) и учитывая, что , получим частное решение уравнения Лапласа
( ) (5.63)
где и учтена зависимость коэффициентов от числа .
Если , то уравнения (5.59) и (5.60) примут вид
.
Первое из них имеет решение вида
(5.64)
и не является периодической функцией от если . Для однозначности решения необходимо требование . Второе уравнение можно записать так
.
Интегрируя, получим
или .
Проинтегрировав еще один раз, имеем
. (5.65)
При . Поэтому для ограниченности решения уравнения (5.65) надо потребовать .
Таким образом, для имеется частное решение уравнения Лапласа – константа
(5.66)
где .
Отметим, что частные решения (5.63) и (5.66) удовлетворяют условию конечности при всех значениях из области Ω и условию однозначности, т.е. периодичности по . Однако граничному условию (5.55) эти решения, вообще говоря, не удовлетворяют. Для того чтобы удовлетворить граничному условию (5.55) запишем решение уравнения (5.56) в виде суммы
. (5.67)
Сумма (5.67) является суммой бесконечного числа членов. Она будет решением уравнения Лапласа с непрерывными частными производными второго порядка по и по (т.е. гармонической функцией) при достаточно хорошей сходимости функционального ряда в (5.67).
Подберем теперь коэффициенты ряда (5.67) так, чтобы удовлетворялось граничное условие (5.55). Подставив в (5.67) , на основании условия (5.55) получим
. (5.68)
Чтобы равенство (5.68) было возможным, нужно, чтобы
функция разлагалась в ряд Фурье в интервале и чтобы и , были коэффициентами Фурье этой функции. Поэтому должны выполняться равенства
,
. (5.69)
Таким образом, получено формальное решение задачи Дирихле (5.54), (5.55) для круга в виде ряда (5.67) с коэффициентами (5.69). Чтобы убедиться в том, что полученная функция действительно является искомым решением, нужно убедиться в сходимости ряда, возможности его почленного дифференцирования, а также доказать непрерывность функции (5.67) на границе круга.
Для этого подставим выражения (5.69) для коэффициентов Фурье в решение (5.67). Получим
Таким образом, имеем
. (5.70)
Используя формулу Эйлера
,
выражение в квадратных скобках (5.70) можно записать так:
(5.71)
Здесь использовалась формула для суммы геометрической прогрессии
, ,
при .
Упростим выражение (5.71), приведя к общему знаменателю. Учитывая
и приведенную выше формулу Эйлера, получим окончательный вид решения (5.70)
. (5.72)
Полученная формула, дающая решение задачи Дирихле внутри круга, называется интегралом Пуассона. Подынтегральное выражение
=
называется ядром Пуассона. Отметим, что >0 при . Анализ интеграла Пуассона показывает [1], что если функция непрерывна, то функция , определенная формулой (5.72), удовлетворяет уравнению Лапласа и при выполняется . Таким образом, интеграл Пуассона является решением задачи Дирихле для круга.