- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
- •1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
- •1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
- •Преобразование Лапласа и его приложения
- •1.1. Свойства преобразования Лапласа
- •2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
- •Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений
- •Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2.5. Индивидуальные задания
- •Ответы к индивидуальным заданиям
- •Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
- •3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
- •3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля
- •3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля
- •3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
- •3.5. Уравнение колебаний струны
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
- •4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- •4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне
- •4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
- •4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
- •4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах
- •5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
- •5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат
- •5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
- •5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
- •5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
- •5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
- •5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
- •Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
- •5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
- •6. Элементы теории специальных функций
- •6.1. Недостаточность элементарных функций для решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, как источник функций
- •6.2. Гипергеометрическое уравнение и функции гипергеометрического типа
- •6.3. Частные случаи гипергеометрической функции: цилиндрические функции Бесселя
- •6.4. Частные случаи гипергеометрической функции: ортогональные полиномы Лежандра
- •7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений
- •7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость
- •7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости
- •7.4. Свойства степенных рядов
- •7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами
- •7.6. Разложение функций в степенные ряды
- •7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.1. Необходимость асимптотических методов
- •8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
- •8.3. Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда
- •8.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
- •8.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре
- •1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4
- •2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19
- •2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38
- •3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133
- •6. Элементы теории специальных функций.........................179
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений ….........................................221
- •9. Список литературы………………………………………..247
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
7.6. Разложение функций в степенные ряды
Определение. Говорят, что функция разлагается в степенной ряд (7.4) или (7.5) на интервале , если на этом интервале данный степенной ряд сходится и его сумма равна , т.е.
при из . (7.21)
Основные теоремы о разложении функций в степенные ряды.
Теорема (одна и та же функция не может иметь двух разных разложений) степенной ряд (7.21), сходящийся на , является рядом Тейлора для своей суммы, т.е. его коэффициенты находятся по формулам Тейлора
(7.22)
а следовательно, коэффициенты ряда (7.22) определяются по его сумме однозначно.
Итак, если функцию в окрестности точки можно разложить в сходящийся к ней ряд, то он является для этой функции рядом Тейлора
. (7.23)
В случае если , полученный ряд называется рядом Маклорена
. (7.24)
Обратное утверждение, вообще говоря, не справедливо. Если функция бесконечно дифференцируема и для нее формально построен ряд Тейлора (7.23) или Маклорена (7.24), то он не всегда сходится к этой функции. Следующая теорема устанавливает условия разложимости функции в степенной ряд.
Теорема. Для того, чтобы функцию можно было разложить в степенной ряд (7.21) с радиусом сходимости , необходимо и достаточно, чтобы имела на этом интервале производные всех порядков и чтобы остаточный член в формуле Тейлора
где
стремился к нулю при для всех из интервала сходимости.
На практике при решении вопроса о возможности разложения функции в ряд Тейлора или Маклорена удобнее использовать достаточные условия, сформулированные ниже.
Теорема. Для того чтобы функцию можно было разложить в степенной ряд (7.21), достаточно, чтобы имела на интервале производные всех порядков и чтобы существовала такая постоянная , что при и всех из этого интервала, т.е. чтобы производные всех порядков были равномерно ограничены в совокупности на этом интервале.
Определение. Функция , разлагающаяся в ряд Тейлора, называется аналитической функцией.
Ряды Маклорена некоторых элементарных функций
Пример. Разложить в ряд по степеням функцию .
Решение. Продифференцировать функцию раз:
=
………………………………………………………………………
.
Найдем значение функции и производных до го порядка в точке , а значение в промежуточной точке для определения остатка . Получаем:
при при
Найдем остаточный член
где , . Поскольку - величина ограниченная и при любом имеет место равенство
то . Следовательно, функцию можно записать как сумму ряда Маклорена
.
7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
Классические степенные ряды, изученные в этой главе, являются эффективным инструментом для различного рода уравнений, вычисления интегралов, исследования функций и моделирования некоторых физических и технических систем.
В высших разделах математического анализа используются ряды более общего типа. В течении нескольких последних десятилетий обобщения степенных рядов применялись при моделировании процессов в электрических цепях, в функциональной электронике, в механике полимерных и композитных материалов и в приложениях к исследованию устойчивости форм равновесия.
Определение. Пусть - функция, непрерывная по совокупности аргументов при из , - неотрицательные целые числа и . Выражения
(7.25)
называется интегро – степенным членом степени относительно и обозначается , где
Каждый интегро – степенной член (7.25) соответствует определенному набору чисел , т.е. определенному решению уравнения в целых неотрицательных числах .
Определение. Сумма всех интегро – степенных членов данной степени называется интегро – степенной формой и обозначается , т.е.
Выражение
(7.26)
называется интегро – степенным рядом.
Введем понятие сходимости ряда, часто применяемое в приложениях. Интегро – степенной ряд (7.26) называется регулярно сходящимся, если сходится числовой ряд
где
В частном случае, когда в интегро – степенном члене (7.25) а ядра интегралов обладают свойствами
для
если для интегро – степенной ряд (7.26) обращается в ряд Вольтерра:
(7.27)
где нижний предел в интегралах может быть равен .
Если во всех интегралах (7.27) выполнить замену переменных для , и положить , то ряд Вольтерра примет вид
(7.28)
В такой форме ряды Вольтерра чаще всего встречаются в приложениях.
Пусть сумма ряда (7.27) или (7.28) равна и аргумент имеет смысл времени. Из вида членов ряда следует, что значение функции в момент времени определяется значениями функции во все предшествующие моменты времени . Таким образом, если физическая величина определяется формулой (7.27) или (7.28) через величину , то физическая система обладает памятью – система “помнит”' свою историю. Именно это свойства обусловливает применение рядов Вольтерра для описания свойств физических и технических систем. В частности, ряд вида (7.28) используется в механике полимеров для представления связи между напряжением и деформацией.