- •Введение
- •Матрицы и операции над ними
- •. Понятие матрицы
- •Матрицы и одинакового размера называются равными, если попарно равны их соответствующие элементы .
- •1.2. Линейные операции над матрицами
- •1.2.1. Сумма матриц
- •Свойства операции суммирования матриц
- •1.2.2. Умножение матрицы на действительное число
- •Свойства произведения матрицы на число
- •1.2.3. Транспонирование матриц
- •1.3. Умножение матриц
- •1.4. Свойства произведения матриц
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Определители
- •Операции над определителями
- •Пусть дана матрица
- •2.2. Основные свойства определителя
- •2.3. Ранг матрицы
- •Матрица (2.5) имеет ступенчатый вид , где , * - некоторые числа.
- •2.4. Вычисление обратной матрицы
- •3.1. Общий вид и свойства системы уравнений
- •3.2. Матричная форма системы уравнений
- •3.3. Метод обратной матрицы и теорема Крамера
- •3.4. Метод Гаусса Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований матриц получить матрицу вида:
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Векторная алгебра
- •4.1. Понятие вектора
- •4.2. Линейные операции над векторами
- •4.2.1. Операция сложения векторов
- •Свойства операции сложения векторов
- •4.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве
- •4.4. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису. Проекция вектора на ось и ее свойства
- •Линейные свойства проекций
- •4.5. Декартова прямоугольная система координат
- •4.6. Формулы деления отрезка в данном отношении р ассмотрим в пространстве две точки и и прямую, определяемую этими точками.
- •4.7. Произведение векторов: скалярное, векторное, смешанное
- •4.7.1. Скалярное произведение
- •Теорема. Два ненулевых вектора и составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно). Алгебраические свойства скалярного произведения
- •4.7.2. Векторное произведение векторов
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения в декартовых координатах
- •4.7.3. Смешанное произведение трех векторов
- •Геометрический смысл
- •Пример 4.4. Упростить выражение .
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Плоскость в пространстве
- •5.1. Общее уравнение плоскости
- •5.2. Уравнение плоскости в нормальном виде
- •5.3. Уравнение плоскости в отрезках
- •5.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •5.5. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Прямая на плоскости
- •6.1. Общее уравнение
- •6.2. Каноническое уравнение прямой
- •6.3. Параметрическое уравнение прямой
- •6.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •6.5. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •6.5.1. Прямые заданы общими уравнениями
- •6.5.2. Прямые заданы каноническими уравнениями
- •6.5.3. Прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
- •Вопросы для самопроверки
- •7.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
- •7.5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости
- •7.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •7.7. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола
- •8.1. Каноническое уравнение эллипса, окружности
- •8.2. Каноническое уравнение гиперболы
- •8.3. Каноническое уравнение параболы
- •8.4.Эксцентриситет эллипса и гиперболы
- •8.5. Директрисы эллипса, гиперболы
- •8.5.1. Директрисы эллипса
- •8.5.2. Директрисы гиперболы
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9. Преобразование систем координат
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11. Полярные координаты
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Лр № 0668515 от 25.08.99. Подписано к изданию 18.03.02.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Алгебраические свойства векторного произведения
1. (свойство антиперестановочности сомножителей).
2. (сочетательное относительно числового множителя).
3. (распределительное относительно суммы векторов).
4. для любого вектора , так как вектор коллинеарен сам себе.
Выражение векторного произведения в декартовых координатах
Теорема. Если два вектора и определены своими декартовыми прямоугольными координатами и , то векторное произведение этих векторов имеет вид
(4.17)
или же
. (4.18)
Следствие. Если два вектора и коллинеарны, то координаты их пропорциональны, то есть
(эту пропорцию следует понимать как и т.д.).
4.7.3. Смешанное произведение трех векторов
Пусть даны три вектора , и . Если вектор векторно умножается на , а затем получившийся вектор скалярно умножается на вектор , то получается число, называемое смешанным произведением векторов , , .
Геометрический смысл
Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , и , взятому со знаком (+), если тройка правая, и со знаком (-) , если тройка левая.
Следствие 1. Справедливо равенство
.
Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.
Следсвие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю. (Такие три вектора заведомо компланарны).
Смешанное произведение в декартовых координатах
Теорема. Если три вектора , и определены своими декартовыми прямоугольными координатами , , , то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, то есть
. (4.19)
Пример 4.1. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор был перпендикулярен вектору ?
Решение. Если , то .
Раскрывая скобки в последнем равенстве (в силу свойства скалярного произведения), получим , откуда .
Пример 4.2. Дан треугольник с вершинами (-3,5,6),
(1,-5,7), (8,-3,-1). Найти внутренний угол при вершине .
Решение. Внутренний угол треугольника при вершине равен углу между векторами и .
По формулам находим координаты указанных векторов:
, .
С помощью формулы находим косинусы углов:
.
Следовательно, .
Пример 4.3. Даны три вектора , , . Найти .
Решение. Определим вектор:
;
В соответствии с формулой находим:
.
Пример 4.4. Упростить выражение .
Решение. Пользуясь формулой и свойствами векторного произведения получаем
.
Пример 4.5. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(-1,0,2), B(1,-2,5), C(3,0,-4).
Решение. Находим сначала координаты векторов и :
, .
Координаты векторного произведения определяем по формуле:
.
Получаем
или .
Находим площадь треугольника
Пример 4.6. Доказать, что векторы , , компланарны.
Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов по формуле:
.
Равенство нулю смешанного произведения означает, что векторы компланарны.
Пример 4.7. Даны вершины тетраэдра: (0, -2, 5),
(6, 6, 0), (3, -3, 6), (2, -1, 3). Найти длину его высоты, опущеной из вершины .
Решение. Найдем сначала объем тетраэдра . По формуле получаем:
Так как определитель равен отрицательному числу, то в данном случае перед формулой нужно взять знак минус. Следовательно, .
Искомую величину h определим из формулы , где S – площадь основания. Определим площадь S:
где
Поскольку
то
Подставляя в формулу значения и , получим h=3.
Пример 4.8. Образуют ли векторы базис в пространстве ? Разложить вектор по базису векторов .
Решение. Три вектора в пространстве R3 могут образовать базис, если они не лежат в одной плоскости, т.е. некомпланарны.
Найдем смешанное произведение векторов :
,
следовательно векторы некомпланарны и образуют базис в пространстве. Если векторы образуют базис в пространстве, то любой вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов , а именно ,где координаты вектора в базисе векторов . Найдем эти координаты, составив и решив систему уравнений
.
Решая ее методом Гаусса, имеем
Отсюда .
Тогда .
Таким образом, .