- •Введение
- •Матрицы и операции над ними
- •. Понятие матрицы
- •Матрицы и одинакового размера называются равными, если попарно равны их соответствующие элементы .
- •1.2. Линейные операции над матрицами
- •1.2.1. Сумма матриц
- •Свойства операции суммирования матриц
- •1.2.2. Умножение матрицы на действительное число
- •Свойства произведения матрицы на число
- •1.2.3. Транспонирование матриц
- •1.3. Умножение матриц
- •1.4. Свойства произведения матриц
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Определители
- •Операции над определителями
- •Пусть дана матрица
- •2.2. Основные свойства определителя
- •2.3. Ранг матрицы
- •Матрица (2.5) имеет ступенчатый вид , где , * - некоторые числа.
- •2.4. Вычисление обратной матрицы
- •3.1. Общий вид и свойства системы уравнений
- •3.2. Матричная форма системы уравнений
- •3.3. Метод обратной матрицы и теорема Крамера
- •3.4. Метод Гаусса Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований матриц получить матрицу вида:
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Векторная алгебра
- •4.1. Понятие вектора
- •4.2. Линейные операции над векторами
- •4.2.1. Операция сложения векторов
- •Свойства операции сложения векторов
- •4.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве
- •4.4. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису. Проекция вектора на ось и ее свойства
- •Линейные свойства проекций
- •4.5. Декартова прямоугольная система координат
- •4.6. Формулы деления отрезка в данном отношении р ассмотрим в пространстве две точки и и прямую, определяемую этими точками.
- •4.7. Произведение векторов: скалярное, векторное, смешанное
- •4.7.1. Скалярное произведение
- •Теорема. Два ненулевых вектора и составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно). Алгебраические свойства скалярного произведения
- •4.7.2. Векторное произведение векторов
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения в декартовых координатах
- •4.7.3. Смешанное произведение трех векторов
- •Геометрический смысл
- •Пример 4.4. Упростить выражение .
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Плоскость в пространстве
- •5.1. Общее уравнение плоскости
- •5.2. Уравнение плоскости в нормальном виде
- •5.3. Уравнение плоскости в отрезках
- •5.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •5.5. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Прямая на плоскости
- •6.1. Общее уравнение
- •6.2. Каноническое уравнение прямой
- •6.3. Параметрическое уравнение прямой
- •6.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •6.5. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •6.5.1. Прямые заданы общими уравнениями
- •6.5.2. Прямые заданы каноническими уравнениями
- •6.5.3. Прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
- •Вопросы для самопроверки
- •7.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
- •7.5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости
- •7.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •7.7. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола
- •8.1. Каноническое уравнение эллипса, окружности
- •8.2. Каноническое уравнение гиперболы
- •8.3. Каноническое уравнение параболы
- •8.4.Эксцентриситет эллипса и гиперболы
- •8.5. Директрисы эллипса, гиперболы
- •8.5.1. Директрисы эллипса
- •8.5.2. Директрисы гиперболы
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9. Преобразование систем координат
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11. Полярные координаты
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Лр № 0668515 от 25.08.99. Подписано к изданию 18.03.02.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
7.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
Определение угла между прямыми сводится к определению угла между их направляющими векторами ; .
Из определения скалярного произведения имеем:
(7.5)
- угол между прямыми в пространстве.
Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности их направляющих векторов и :
(7.6)
- условие параллельности прямых в пространстве.
Условие перпендикулярности прямых: ( , ) = 0:
l1l2 + m1m2 +n1n2 = 0 (7.7)
- условие перпендикулярности прямых в пространстве.
Пример 7.4 . Найти угол между прямой и прямой, проходящей через две точки .
Решение. Координаты направляющего вектора первой прямой . Для второй прямой направляющим является вектор . Угол между направляющими векторами вычислим, используя формулу (7.5),
.
Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле
(7.8)
Пример 7.5. Найти расстояние от точки до прямой
Решение. Воспользуемся формулой (7.8). Так как то
Итак, расстояние равно 10.
7.5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости
Две прямые в пространстве могут:
1. пересекаться;
2. быть параллельными;
3. скрещиваться.
В первых двух случаях прямые лежат в одной плоскости.
Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями:
; .
Для принадлежности двух прямых к одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора
, ( и точки на прямых и ), были компланарны, т.е. смешанное произведение этих векторов равно нулю.
(7.8)
- условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
Пример 7.5. Доказать, что прямые
пересекаются.
Решение. Применим формулу (7.8).
=-104 – 6 + 110 = 0.
Таким образом прямые лежат в одной плоскости. А так как координаты их направляющих векторов не пропорциональны, следовательно прямые не параллельны, а пересекаются. Что и требовалось доказать.
7.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Р ассмотрим плоскость p, заданную уравнением и прямую , заданную каноническими уравнениями:
Поскольку угол j между прямой и плоскость p является дополнительным к углу между вектором нормали плоскости и направляющим вектором прямой , то ( , )= ; cosy = cos(900 - j) = sinj, то
(7.9)
- угол между прямой и плоскостью.
Условие параллельности прямой и плоскости эквивалентно условию перпендикулярности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости
Аl +Bm +Cn = 0 (7.10)
- условие параллельности прямой и плоскости.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости эквивалентно условию параллельности и
(7.11)
- условие перпендикулярности прямой и плоскости.
Пример 7.6. При каком значении и прямая
и плоскость перпендикулярны?
Решение. Воспользуемся условием перпендикулярности прямой и плоскости (7.11). Тогда . Получаем
Пример 7.7. При каком значении n прямая
параллельна плоскости .
Решение. Обращаемся к условию параллельности прямой и плоскости (7.10). Подставляя соответствующие значения в это уравнение, получим или откуда