- •Введение
- •Матрицы и операции над ними
- •. Понятие матрицы
- •Матрицы и одинакового размера называются равными, если попарно равны их соответствующие элементы .
- •1.2. Линейные операции над матрицами
- •1.2.1. Сумма матриц
- •Свойства операции суммирования матриц
- •1.2.2. Умножение матрицы на действительное число
- •Свойства произведения матрицы на число
- •1.2.3. Транспонирование матриц
- •1.3. Умножение матриц
- •1.4. Свойства произведения матриц
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Определители
- •Операции над определителями
- •Пусть дана матрица
- •2.2. Основные свойства определителя
- •2.3. Ранг матрицы
- •Матрица (2.5) имеет ступенчатый вид , где , * - некоторые числа.
- •2.4. Вычисление обратной матрицы
- •3.1. Общий вид и свойства системы уравнений
- •3.2. Матричная форма системы уравнений
- •3.3. Метод обратной матрицы и теорема Крамера
- •3.4. Метод Гаусса Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований матриц получить матрицу вида:
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Векторная алгебра
- •4.1. Понятие вектора
- •4.2. Линейные операции над векторами
- •4.2.1. Операция сложения векторов
- •Свойства операции сложения векторов
- •4.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве
- •4.4. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису. Проекция вектора на ось и ее свойства
- •Линейные свойства проекций
- •4.5. Декартова прямоугольная система координат
- •4.6. Формулы деления отрезка в данном отношении р ассмотрим в пространстве две точки и и прямую, определяемую этими точками.
- •4.7. Произведение векторов: скалярное, векторное, смешанное
- •4.7.1. Скалярное произведение
- •Теорема. Два ненулевых вектора и составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно). Алгебраические свойства скалярного произведения
- •4.7.2. Векторное произведение векторов
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения в декартовых координатах
- •4.7.3. Смешанное произведение трех векторов
- •Геометрический смысл
- •Пример 4.4. Упростить выражение .
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Плоскость в пространстве
- •5.1. Общее уравнение плоскости
- •5.2. Уравнение плоскости в нормальном виде
- •5.3. Уравнение плоскости в отрезках
- •5.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •5.5. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Прямая на плоскости
- •6.1. Общее уравнение
- •6.2. Каноническое уравнение прямой
- •6.3. Параметрическое уравнение прямой
- •6.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •6.5. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •6.5.1. Прямые заданы общими уравнениями
- •6.5.2. Прямые заданы каноническими уравнениями
- •6.5.3. Прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
- •Вопросы для самопроверки
- •7.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
- •7.5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости
- •7.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •7.7. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола
- •8.1. Каноническое уравнение эллипса, окружности
- •8.2. Каноническое уравнение гиперболы
- •8.3. Каноническое уравнение параболы
- •8.4.Эксцентриситет эллипса и гиперболы
- •8.5. Директрисы эллипса, гиперболы
- •8.5.1. Директрисы эллипса
- •8.5.2. Директрисы гиперболы
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9. Преобразование систем координат
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11. Полярные координаты
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Лр № 0668515 от 25.08.99. Подписано к изданию 18.03.02.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3.4. Метод Гаусса Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований матриц получить матрицу вида:
(3.10)
1. Рассмотрим элемент , если , то умножим его на( ), ( ) и т.д. и прибавляем его ко 2-й, 3-й и т.д. строкам. Если же , то меняем местами строки или столбцы. Этого можно достичь всегда, если только матрица не имеет вид :
- вид матрицы . (3.11)
В результате
.
Рассмотрим матрицу , делаем те же преобразования.
Получаем
Рассмотрим матрицу С. Произведем те же преобразования. После этого получим матрицу вида (3.10).
Находим множество решений системы (3.1). Исследуем (решаем) систему, соответствующую матрице (3.10). Итак, матрица (3.10) соответствует системе линейных уравнений вида:
(3.12)
где - это неизвестные переставленные определенным образом. Их перестановка определяется перестановкой столбцов, которые приходилось делать по ходу вычислений.
Последние (m-r) уравнений следует понимать как
Если хоть одно из , то получим несовместную систему уравнений (т.е. не имеющую решений). Таким образом для всякой совместной системы . Тогда эти выражения можно опустить. Переносим в (3.12) все члены, содержащие в правую часть, тогда
(3.13)
Здесь ( ) – свободные переменные, им можно придавать произвольные значения. Неизвестные определяются однозначно. Из последнего уравнения находим , далее подставляем в предпоследнее, находим и т.д..
Пример 3.2. Решить систему уравнений:
Решение. Расширенная матрица системы
.
Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-3) и складываем со 2-й строкой.Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-2) и складываем с 3-й строкой. Получаем:
.
Умножаем каждый элемент 2-й строки на( ) и складываем с 3-й строкой. Получаем
.
Тогда r(A) = r(A/B) =3 – система совместна.
Полученной матрице соответствует система
,
откуда z = 1; y=1; x=1.
Пример 3.3. Решить систему уравнений:
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид
.
Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-3) и на (-4) и складываем со второй и третьей строкой соответственно. Получим:
.
Умножаем каждый элемент 2-й строки на(-1) и сложим с 3-й. Получим :
.
Ранг матрицы системы r(A)=2, ранг расширенной матрицы r(A/B)=3, r(A)≠r(A/B), следовательно система несовместна.
Пример 3.4. Решить систему уравнений:
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид
~ ~ ~ ,
r(A)=2; r(A/B)= 2 => система совместна. Тогда
где z – свободная переменная, z = t, тогда x =1, y = -t, z = t.
Однородная система имеет либо единственное тривиальное решение, т.е. x = y = z = 0, если ≠0 и ранг матрицы равен числу неизвестных, причем число неизвестных равно числу уравнений, либо имеет бесчисленное множество решений в противном случае.
Вопросы для самопроверки
Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений?
Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы называются совместными, а какие – несовместными?
Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?
При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?
Что можно сказать о системе линейных уравнений, если ее определитель равен нулю?
При каком условии система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение?
Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
В чем состоит матричный способ решения систем линейных уравнений?