- •Введение
- •Матрицы и операции над ними
- •. Понятие матрицы
- •Матрицы и одинакового размера называются равными, если попарно равны их соответствующие элементы .
- •1.2. Линейные операции над матрицами
- •1.2.1. Сумма матриц
- •Свойства операции суммирования матриц
- •1.2.2. Умножение матрицы на действительное число
- •Свойства произведения матрицы на число
- •1.2.3. Транспонирование матриц
- •1.3. Умножение матриц
- •1.4. Свойства произведения матриц
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Определители
- •Операции над определителями
- •Пусть дана матрица
- •2.2. Основные свойства определителя
- •2.3. Ранг матрицы
- •Матрица (2.5) имеет ступенчатый вид , где , * - некоторые числа.
- •2.4. Вычисление обратной матрицы
- •3.1. Общий вид и свойства системы уравнений
- •3.2. Матричная форма системы уравнений
- •3.3. Метод обратной матрицы и теорема Крамера
- •3.4. Метод Гаусса Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований матриц получить матрицу вида:
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Векторная алгебра
- •4.1. Понятие вектора
- •4.2. Линейные операции над векторами
- •4.2.1. Операция сложения векторов
- •Свойства операции сложения векторов
- •4.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве
- •4.4. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису. Проекция вектора на ось и ее свойства
- •Линейные свойства проекций
- •4.5. Декартова прямоугольная система координат
- •4.6. Формулы деления отрезка в данном отношении р ассмотрим в пространстве две точки и и прямую, определяемую этими точками.
- •4.7. Произведение векторов: скалярное, векторное, смешанное
- •4.7.1. Скалярное произведение
- •Теорема. Два ненулевых вектора и составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно). Алгебраические свойства скалярного произведения
- •4.7.2. Векторное произведение векторов
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения в декартовых координатах
- •4.7.3. Смешанное произведение трех векторов
- •Геометрический смысл
- •Пример 4.4. Упростить выражение .
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Плоскость в пространстве
- •5.1. Общее уравнение плоскости
- •5.2. Уравнение плоскости в нормальном виде
- •5.3. Уравнение плоскости в отрезках
- •5.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •5.5. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Прямая на плоскости
- •6.1. Общее уравнение
- •6.2. Каноническое уравнение прямой
- •6.3. Параметрическое уравнение прямой
- •6.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •6.5. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •6.5.1. Прямые заданы общими уравнениями
- •6.5.2. Прямые заданы каноническими уравнениями
- •6.5.3. Прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
- •Вопросы для самопроверки
- •7.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
- •7.5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости
- •7.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •7.7. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола
- •8.1. Каноническое уравнение эллипса, окружности
- •8.2. Каноническое уравнение гиперболы
- •8.3. Каноническое уравнение параболы
- •8.4.Эксцентриситет эллипса и гиперболы
- •8.5. Директрисы эллипса, гиперболы
- •8.5.1. Директрисы эллипса
- •8.5.2. Директрисы гиперболы
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9. Преобразование систем координат
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11. Полярные координаты
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Лр № 0668515 от 25.08.99. Подписано к изданию 18.03.02.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
4.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве
Линейной комбинацией n векторов , , …, будем называть сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, т.е.
, (4.1)
где - любые вещественные числа.
Определение. Векторы , , …, называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов , , …, с указанными числами обращается в нуль, т.е.
.
Определение. Векторы , , …, называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно лишь в случае, когда все числа равны нулю.
Имеют место следующие утверждения.
Теорема. Если хотя бы один из векторов , , …, является нулевым, то эти векторы линейно зависимы.
Теорема. Если среди n векторов какие-либо (n-1) векторы линейно зависимы, то все n векторов линейно зависимы.
Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.
Следствие 1. Если векторы и не коллинеарны, то они линейно независимы.
Следствие 2. Среди двух линейно независимых векторов не может быть нулевого вектора (иначе они оказались бы линейно зависимыми).
Теорема . Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.
4.4. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису. Проекция вектора на ось и ее свойства
Определение. Три линейно независимых вектора , , образуют в пространстве базис, если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов , , , т.е. для любого найдутся такие вещественные числа , , , что справедливо равенство:
(4.2)
– разложение вектора по базису , , , где , , - координаты относительно базиса , , .
Определение. Два линейно независимых вектора и образуют на плоскости базис, если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов и , т.е. для любого вектора найдутся такие вещественные числа , , что имеет место равенство:
(4.3)
Справедливы следующие утверждения:
Любая тройка некомпланарных векторов , и образует базис в пространстве.
Любая пара лежащих на плоскости неколлинеарных векторов и образуют базис на этой плоскости.
Каждый вектор может быть единственным способом разложен по базису , , или координаты каждого вектора относительно базиса , , определяются однозначно.
В чем необходимость базиса?
При задании базиса линейные операции над векторами становятся обычными линейными операциями над числами-координатами этих векторов, а именно:
Теорема 1. При сложении двух векторов и их координаты относительно любого базиса , , складываются. При умножении вектора на любое число все его координаты умножаются на это число.
Пусть ; .
; .
Тогда в силу свойств линейных операций над векторами:
.
.
В дальнейшем нам потребуются понятия: проекция вектора на ось и угол наклона вектора. Введем эти понятия.
Определение. Проекцией вектора на ось называется величина направленного отрезка оси u. Проекцию на ось u будем обозначать .
Определение. Угол наклона вектора к оси u – это угол между двумя выходящими из точки А лучами, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением , а другой - с осью u.
Теорема 2. Проекция вектора на ось u равна длине вектора , умноженной на косинус угла наклона к оси u (видно из чертежа).
.